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子群

群论
Rubik's cube.svg

假设是一个,若 的一个非空子集且同时 与相同的二元运算 亦构成一个群,则 称为 的一个子群。参阅群论

更精确地来说,若运算*在H限制也是个在H上的群运算,则称HG的子群。

一个群G纯子群是指一个子群H,其为G纯子集(即HG)。任一个群总会有两个子群当然群(为只包含单位元的子群,{e})以及群本身。若HG的子群,则G有时会被称为H的“母群”。

相同的定义可以应用在更广义的范围内,当G为一任意的半群,但此一条目中只处理群的子群而已。群G有时会被标记成有序对(G,*),通常用以强调其运算*当G带有多重的代数或其他结构。

在下面的文章中,会使用省略掉*的常规,并将乘积a*b写成ab

子群的检验

给定一个群的子集,则有的子群当且仅当

的子群可表示为,则以上表述可表示为:

证明:

因为,对于任意,另有,由于为一个群,所以

假设,令,可得,即存在单位元。

对于,令,可得,即对于任意,存在

对于,令,可得,即对于任意

因此成立。

子群的基本性质

  • 且存在一个映射,且对每个
  • ,其中 的单位元。
  • ,则为会使得 中的元素,有
  • .但则不一定,例如2和3是在的并集中,但其总和5则不是。
  • SG的子集,则存在一个包括S的最小子群,其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出;此一最小子群被标记为<S>且称为S产生的子群G内的一个元素在<S>内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
  • G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数nZ/nZ,则n会是最小个会使得an = e的正整数,且n被称为是a的“阶”。若<a>同构于Z,则a会被称有“无限阶”。
  • 任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格,称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集,而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论并集“所产生”的子群。)若eG的单位元,则其当然群{e}会是群G最小子群,而其最大子群则会是群G本身。

例子

1. 有限群

以8为模的加法为二元运算的群(此群亦同时是阿贝尔群)。 其凯莱表

+ 0 4 2 6 1 3 5 7
0 0 4 2 6 1 3 5 7
4 4 0 6 2 5 7 1 3
2 2 6 4 0 3 5 7 1
6 6 2 0 4 7 1 3 5
1 1 5 3 7 2 4 6 0
3 3 7 5 1 4 6 0 2
5 5 1 7 3 6 0 2 4
7 7 3 1 5 0 2 4 6

此凯莱表是故意不用常规的排列法来表明此群有着一对非当然子群:,其中 亦是 的子群。 的凯莱表是 的凯莱表之左上半部。 群是循环的,而其子群亦为。一般而言,循环群的子群亦为循环的。

2. 二面体群

如果,则 是一个子群

3.群的中心,中心化子,正规化子

我们设一个群G的子集,包含了所有与群G中其他元素可交换的元素,也就是说

,此集合为群G的子群。我们称此子群为群的中心,记作

设A为G的任意子集,则A在G中的中心化子为集合,此集合的定义为:

,此集合也是群G的子群。

至于A在G中的正规化子则为集合,此集合定义为:

,此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理

给定一子群HG内的某一元素a,则可定义出一个陪集 aH={ah;hH}。因为a为可逆的,由φ(h) = ah给出之映射φ : HaH为一个双射。更甚地,每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中;其左陪集为对应于一等价关系的等价类,其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左陪集之数目称之为HG内的“指数”,并标记为[G:H]。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言,

其中o(G)和o(H)分别为GH。特别地是,每一个G的子群的阶(和每一个G内元素的阶)都必须为o(G)的约数右陪集为相类比之定义:Ha = {ha : hH}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类,且其个数亦会相等于[G:H]。

若对于每个在G内的aaH=Ha,则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的:左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

另见


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