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大斜方截半二十面体

大斜方截半二十面体
大斜方截半二十面体
(按这里观看旋转模型)
类别 半正多面体
62
180
顶点 120
欧拉特征数 F=62, E=180, V=120 (χ=2)
面的种类 正方形
正六边形
正十边形
面的布局英语Face configuration 30{4}+20{6}+12{10}
顶点图 4.6.10
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 5.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW ring.png
施莱夫利符号
威佐夫符号英语Wythoff symbol 2 3 5 |
康威表示法 grID
对称群 Ih群
参考索引 U28, C31, W16
对偶 六角化二十面体
特性 环带多面体
立体图 Great rhombicosidodecahedron vertfig.png
4.6.10
顶点图
Disdyakistriacontahedron.jpg
六角化二十面体
(对偶多面体)
Truncated icosidodecahedron flat.svg
(展开图)

几何学中,大斜方截半二十面体(英语:Great rhombicosidodecahedron)又称为截角截半二十面体(英语:Truncated icosidodecahedron)是一种半正多面体,由于其具有点可递的性质,因此属于阿基米德立体[1],是十三种由2种以上的正多边形组成的非柱体几何图形之一。

大斜方截半二十面体共有62个面、180条棱和120个顶点,是凸均匀多面体顶点数最多也是棱数最多的多面体。由于其每个面都具有点对称性(与180°的旋转对称等效),因此是一种环带多面体

命名

截半二十面体及其截角的结果

名称截角截半二十面体(英语:Truncated icosidodecahedron)最初由约翰内斯·开普勒给出,但这个名称有歧义,因为直接将截半二十面体透过截角变换的结果,其所形成的四边形面是一个长方形而不是正方形,然而这个立体图形在拓朴上与大斜方截半二十面体等价。

大斜方截半二十面体还有几个不同的名称:

  • 截角截半二十面体(英语:Truncated icosidodecahedron,由约翰内斯·开普勒命名)
  • 菱形截角截半二十面体 (英语:Rhombitruncated icosidodecahedron,由马格努斯·J·温尼尔英语Magnus J. Wenninger命名[3]
  • 大斜方截半二十面体 (英语:Great rhombicosidodecahedron,由罗伯特·威廉斯英语Robert Williams (geometer)[5]彼得·克伦威尔英语Peter Cromwell[6]命名)

性质

由30个正方形,20个正六边形和12个正十边形组成,有120个顶点和180条棱。除棱柱和反棱柱以外,如果所有的阿基米德立体具有相同的棱长,大斜方截半二十面体将具有最大的表面积和体积。

尺寸

若一大斜方截半二十面体的边长为a,则有下列性质:

  • 体积表面积
    [7][8]
    [7][8]
  • 外接球半径
    [8],由此可知,外接球体积为,其值约为[8]
  • 内切球半径
    ,由此可知,内切球体积为,其值约为[8]
  • 面心距
    • 正方形面心距为:[8]
    • 正六边形面心距为:[8]
    • 正十边形面心距为:[8]
  • 为大斜方截半二十面体的边心距、十二面体外接球半径为、正二十面体外接球半径为,和菱形三十面体长对角线的接球半径为。 存在下列等式:
    • [9]
    • [9]
    • [9]
    • [9]
    • [9]

作法

将一个正十二面体正二十面体)三十条棱都切一刀,在二十(十二)个顶点处也切一刀,但是要切的薄一点,就可以得到一个大斜方截半二十面体。

顶点坐标

在三维笛卡儿坐标系中,以原点为几何中心,边长2τ-2的大斜方截半二十面体的坐标是以下坐标的全偶排列[10]

1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),
2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),
1/φ, ±φ2, ±(−1 + 3φ)),
(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) and
φ, ±3, ±2φ),

其中φ = 1 + 5/2黄金分割率

相关多面体与镶嵌

Conway polyhedron b3I.png Conway polyhedron b3D.png
领结二十面体和领结十二面体的结构可以看做是大斜方截半二十面体的正方形面被分割成两个梯形[11]

大斜方截半二十面体又称为截角截半二十面体,是正二十面体截半后再经过特殊的截角变换后的结果,其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有:

正二十面体家族半正多面体
对称群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 5.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


大斜方截半二十面体图

大斜方截半二十面体图
Truncated icosidodecahedral graph.png
5阶对称性
顶点120
180
半径15
直径15
围长4
自同构群120 (A5×2)
色数2
属性立方体英语Cubic graph哈密顿正则零对称性英语Zero-symmetric graph

在图论的数学领域中,与大斜方截半二十面体相关的图为大斜方截半二十面体图又称为截角截半二十面体图,是大斜方截半二十面体之边与顶点的图英语1-skeleton,是一种阿基米德图英语Archimedean graph[12]

性质

大斜方截半二十面体图与大斜方截半二十面体有相同的拓朴结构,其顶点与边的数量及结构都与阿基米德立体中的大斜方截半二十面体相同,共有120个顶点和180条边,是阿基米德图中,顶点和边数最多的图,且是一个位于零对称性英语Zero-symmetric graph立方体英语Cubic graph的阿基米德图[12]

施莱格尔图
Truncated icosidodecahedral graph-hexcenter.png
3阶对称性
Truncated icosidodecahedral graph-squarecenter.png
2阶对称性

参见

参考文献

  1. Cromwell, P.; Polyhedra页面存档备份,存于互联网档案馆), CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  2. 埃里克·韦斯坦因. GreatRhombicosidodecahedron. MathWorld.埃里克·韦斯坦因. Archimedean solid. MathWorld.
  3. Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, x3x5x - grid
  1. ^ 1.0 1.1 Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.
  2. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1974, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493
  3. ^ Wenninger, (Model 16[2], p. 30)
  4. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.
  5. ^ Williamson[4] (Section 3-9, p. 94)
  6. ^ Cromwell[1] (p. 82)
  7. ^ 7.0 7.1 埃里克·韦斯坦因. Great rhombicosidodecahedron. MathWorld.
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Harish Chandra Rajpoot. Mathematical analysis of great rhombicosidodecahedron (the largest Ar…. 2015-03-19 [2017-07-03]. (原始内容存档于2018-08-26).
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 Robert Whittaker. polyhedra.mathmos.net. polyhedra.mathmos.net. [2017-07-11]. (原始内容存档于2016-07-04) (英语).
  10. ^ 埃里克·韦斯坦因. Icosahedral group. MathWorld.
  11. ^ Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons页面存档备份,存于互联网档案馆) Craig S. Kaplan
  12. ^ 12.0 12.1 Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 269, 1998

外部链接


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