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多胞形

多胞形是一类由平的边界构成的几何结构。多胞形可以存在于任意维中。多边形为二维多胞形,多面体为三维多胞形,也可以延伸到三维以上的空间,如多胞体即为四维多胞形。

当提到n度空间下的多胞形时,常会用n-多胞形的名称来表示,因此多边形可称为2-多胞形,多面体可称为3-多胞形,多胞体即为4-多胞形。

多胞体的英文polytope是由数学家Hoppe创造,其原文为德文,后来才由艾丽西亚·布尔·斯托特英语Alicia Boole Stott翻译为英文。[1]

多胞形的种类

简单多胞形

简单多胞形在不同的情况下有不同的定义,例如在讨论二维多边形时,简单多边形是指自身元素中没有互相相交情况的多边形[2]。而在讨论其他维度的立体时,简单多胞形代表与每个顶点相邻之边或面数不会超过其维数的多胞形。[3]

复杂多胞形

复杂多胞形在不同的情况下有不同的定义,例如在讨论二维多边形时(尤其是四边形),复杂多边形(讨论四边形时称复杂四边形)是指自身元素中有互相相交情况的多边形[4],同时也可以推广到多胞形的情况,即指自身元素中有互相相交情况的多胞形。[5]在电脑图学中,也可以用来指非简单的几何形状[6]。此外,复杂多胞形在英语中称为Complex Polytope,其亦可以代表位于复数(Complex Number)空间的复多胞形

凸多胞形

凸多胞形[7]是最简单的多胞形,并且存在有几种不同的概念性定义。例如凸多胞形有时被定义为一组半空间的交集,这个个定义下并不强制多胞形是有界的也不强制多胞形是有限的,其中有界的多胞形意味着存在一个能涵盖整个多胞形且半径是有限的球体或超球体[7]。若其为凸集且符合有界和有限的特性则可以称为严格凸多胞形[8]。在线性规划中通常会利用这种方式来定义多胞形[9]

正多胞形

正多胞形是对称性最高的一种多胞形,在这种多胞形中,各种同维元素或同结构元素组皆可在其对称性上传递,甚至其对称性也能在标记(包含所有维度元素组)上传递,因此正多胞形的对偶多胞形也是一种正多胞形。[10]

星形多胞形

星形多胞形通常是指一系列的非凸多胞形,其中包括了一些正多胞形。[11]

广义的多胞形

无穷多胞形

由于并非所有流形都是有限的[12],因此若将多胞体理解为在一个流形中由胞结构组成的空间填充,则可以将之扩展到无穷流形中[13]。平面密铺、空间堆砌和双曲镶嵌多可以算是这类多胞形。这种解合结构因为有无限多个维面,因此有时会被称为无限胞体[14]

实多胞形

实多胞形是指所有顶点皆位于空间的多胞形[15],通常会和复多胞形进行比较,例如实多胞形可以定义内部而复多胞形无法。[16]另外,在抽象几何学英语Abstract polytope中,实多胞形也可以表达与抽象多胞形相对的概念。[17]

复多胞形

实多胞形是指所有顶点皆位于希尔伯特空间的多胞形,可以视为实数空间中的多胞形在复数空间的推广。[19]而复正多胞形更适合被视为一种排布结构。[18]

四元多胞形

在几何中,四元多胞形是指位于四元数空间的多胞形。其可以视为是实数空间中的多胞形在四元数空间的推广。其与复数空间类似,点不具有序性,因此没有“位于...之间”的相互关系,因此一个四元数空间多胞形可以被理解为一组点、线和面等的排布关系,其中,点维多条线的连接点、线连接了多个面。由于四元数的乘法不具有交换率,因此必须透过标量与向量相乘来构建乘法系统,通常会使用左乘法。[20]

其他空间的多胞形

多胞形通常可以定义于希尔伯特空间[21],如复多胞形(Complex polytope)[18]、四元多胞形(Quaternionic polytope)[20]或八元多胞形(Octonionic Polytope)等,不过在一些复杂的空间结构的多胞形,如八元多胞形的理论尚未被有系统的探讨及解决。[22]

抽象多胞形

抽象多胞形是一种纯粹只考虑多胞形各元素间的组合特性,将多胞形从其包含的空间几何关系分离出来的一类多胞形。[23]这允许将多胞形各元素的定义扩展到包括一些位于难以在直观下定义之空间的物件,例如四维正十一胞体[24][25]

抽象多胞形是遵守某些规则之元素的偏序集合,并且是一个纯粹的代数结构,其发展的目的是为了避免或解决一些不同类型的几何结构难以在一致的数学框架下协调的问题。[26]

拓朴多胞形

拓朴多胞形是一个可以分解为与凸多胞形拓朴等价的形状、且可以规则方式分解为相互连接的形状的拓朴空间[27]

参见

参考文献

  1. ^ A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
  2. ^ Dumitrescu, Adrian; Tóth, Csaba D. Light orthogonal networks with constant geometric dilation. Thomas, Wolfgang; Weil, Pascal (编). STACS 2007: 24th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science, Aachen, Germany, February 22-24, 2007, Proceedings illustrated. Springer. 2007: 177 [2019-09-20]. ISBN 3540709177. (原始内容存档于2019-12-20).
  3. ^ Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer: 8, 2012, ISBN 9780387943657
  4. ^ Complex quadrilaterals, Quadrilaterals. technology UK. [2019-09-20]. (原始内容存档于2017-07-06).
  5. ^ Paul Bourke; Polygons and meshes:Surface (polygonal) Simplification页面存档备份,存于互联网档案馆) 1997. (retrieved May 2016)
  6. ^ Rae Earnshaw, Brian Wyvill (Ed); New Advances in Computer Graphics: Proceedings of CG International ’89, Springer, 2012, page 654.
  7. ^ 7.0 7.1 Wei-Ta Chu. Concepts from Geometry (PDF). 2015.
  8. ^ Kaufmann, M. and Wagner, D. Graph Drawing: 14th International Symposium, GD 2006, Karlsruhe, Germany, September 18-20, 2006, Revised Papers. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg. 2007. ISBN 9783540709046. LCCN 2007920270.
  9. ^ Dmitris Alevras and Manfred W. Padberg, Linear Optimization and Extensions: Problems and Solutions, Universitext, Springer-Verlag, 2001. (Problems from Padberg with solutions.)
  10. ^ Sommerville, D. M. Y. Chapter X: The Regular Polytopes. An Introduction to the Geometry of n Dimensions Dover Publications. New York: E. P. Dutton. 1958 [1930].
  11. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald, Regular Polytopes, New York: Dover Publications, 1973, ISBN 978-0-486-61480-9
  12. ^ Suyama, Yusuke. Examples of smooth compact toric varieties that are not quasitoric manifolds. Algebraic & Geometric Topology (Mathematical Sciences Publishers). 2014, 14 (5): 3097––3106.
  13. ^ Martelli, Bruno. Hyperbolic four-manifolds. arXiv preprint arXiv:1512.03661. 2015.
  14. ^ Grünbaum, B.; "Regular Polyhedra—Old and New", Aeqationes mathematicae, Vol. 16 (1977), pp 1–20.
  15. ^ DeSario, David and Robins, Sinai. A solid angle theory for real polytopes. arXiv preprint arXiv:0708.0042. 2007.
  16. ^ Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
  17. ^ Norman Johnson. Guy Inchbald , 编. Polytopes - abstract and real (PDF). steelpillow.
  18. ^ 18.0 18.1 18.2 Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
  19. ^ Coxeter, Complex Regular polytopes,[18] Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes. p. 180.
  20. ^ 20.0 20.1 Davis, C.; Grünbaum, B.; Sherk, F.A. The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift - Google Books. 2012-12-06 [2016-04-15]. ISBN 9781461256489.
  21. ^ Haga, Tim and Pegel, Christoph. Polytopes of eigensteps of finite equal norm tight frames. Discrete & Computational Geometry (Springer). 2016, 56 (3): 727––742.
  22. ^ Boya, Luis J and Rivera, Cristian. On regular polytopes. Reports on Mathematical Physics (Elsevier). 2013, 71 (2): 149––161.
  23. ^ Mark Mixer. Introduction to abstract polytopes (PDF). Tapas Seminar. May 19, 2009.
  24. ^ [1]页面存档备份,存于互联网档案馆) 2007 ISAMA paper: Hyperseeing the Regular Hendecachoron, Carlo H. Séquin & Jaron Lanier, Also Isama 2007, Texas A&m hyper-Seeing the Regular Hendeca-choron. (= 11-Cell)
  25. ^ Jaron's World: Shapes in Other Dimensions, Discover mag., Apr 2007
  26. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0
  27. ^ Grünbaum, Branko, Kaibel, Volker; Klee, Victor; Ziegler, Günter M. , 编, Convex polytopes 2nd, New York & London: Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-00424-6.

外部链接


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