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墨卡托投影法本文重定向自 墨卡托投影

墨卡托世界地图(1569年)
以墨卡托投影法呈现的世界地图。

墨卡托投影法(英语:Mercator projection),又称麦卡托投影法正轴等角圆柱投影,是一种等角的圆柱形地图投影法

本投影法得名于法兰德斯出身的地理学家杰拉杜斯·墨卡托,他于1569年发表长202公分、宽124公分以此方式绘制的世界地图。在以此投影法绘制的地图上,纬线于任何位置皆垂直相交,使世界地图可以绘制在一个长方形上。由于可显示任两点间的正确方位,航海用途的海图、航路图大都以此方式绘制。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变,从而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变(即等角);但墨卡托投影会使面积产生变形,极点的比例甚至达到了无穷大。

数学计算

地图上纵向方位(图中的横轴)和纬度(图中的纵轴)的关系。

下列公式定义在使用墨卡托投影的地图中,从纬线φ经线λ(其中λ0是地图的中央经线)如何推导为坐标系中的坐标xy

这是古德曼函数的逆推导:

这是古德曼函数:

比例尺与纬度φ正割成比例,越趋向极地φ = ±90°)面积变形越大。此外,由公式可知,极点处的y值为正负无穷大。

公式推导

墨卡托投影是一种等角投影。

假设地球为正球形。(实际上并非为正球形,而是有扁率的,但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确,可插入等角纬线。)我们需要将经纬度坐标(λφ)转换为笛卡尔坐标(xy),求以赤道为基准的切柱面投影(即x = λ),并保持形状不变,故:

x = λ 可知

给出

因此,yφ的唯一函数,且可得到,由积分表

在地图中φ = 0得到y = 0,所以取C = 0.

以墨卡托投影法绘制的地图。

错觉

由于墨卡托投影在高纬度过分放大,低纬度又过分缩小,因此会产生有趣的错觉。比如世界第一大岛高纬度的格陵兰澳洲看起来还大好几倍。世界第二大岛低纬度的新几内亚日本差不多大小。然而新几内亚岛面积足足是日本的2倍。

以下是实际面积(单位:平方公里)

  • 澳洲:7,692,024平方公里
  • 格陵兰:2,166,086平方公里
  • 日本:378,000平方公里
  • 新几内亚岛:786,000平方公里

参见

参考资料

  • Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987.可至USGS pages下载。
  • Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004.
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.

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