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塔斯基分割圆问题

1925年,阿尔弗雷德·塔斯基提出一个问题:将平面上的一个分割成有限多块,然后重新拼合成面积相同的正方形

1990年米可斯·拉兹柯维奇证明这是可行的。但他的分割方法大量使用了选择公理(axiom of choice),故该方法是不可构造的。这种分割方法至多将圆分割成约1050块。2017年,Andrew Marks 和 Spencer Unger 使用博雷尔片给出了一个完全构造性的分割方法。[1]

拉兹柯维奇还证明了更多:该重新拼合的过程中只须移动即可;旋转并非必要。他随之而证明任何平面上的单纯多边形均可分割成有限多片,只须移动来重新拼合一个面积相同的正方形。华勒斯·波埃伊·格维也纳定理是相关但简单得多的结果——若可以在重新拼合过程中移动和旋转,一个多边形割为有限多的多边形块后,可重新拼合成另一个面积相同的多边形。

这些结果可以和在三维上的巴拿赫-塔斯基悖论(Hausdorff-Banach-Tarski paradox)相比;这些分割甚至改变集的体积,而平面上的问题则不能做到。

它跟化圆为方问题是不同的:使用尺规作图的方法令圆形的面积变成正方形的面积,这是不可能的。塔斯基的问题使用了(不可证的)选择公理来分割圆令成为一块块数目多至不可量度子集的片,所以它不能用实质工具这种只能画出可量度集的物件显示出来。

参考

  • Miklos Laczkovich: "Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem", Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) pp. 77-117
  • Miklos Laczkovich: "Paradoxical decompositions: a survey of recent results." First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), pp. 159-184, Progr. Math., 120, Birkhäuser, Basel, 1994.
  1. ^ Marks, Andrew; Unger, Spencer. Borel circle squaring. Annals of Mathematics. 2017, 186 (2): 581–605. ISSN 0003-486X. doi:10.4007/annals.2017.186.2.4 (美国英语).

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