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基数 (数学)

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延伸
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圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

在日常交流中,基数量数是对应量词,例如“一颗苹果”中的“一”。与序数相对,序数是对应排列的数,例如“第一名”中的“一”及“二年级”中的“二”。

数学上,基数,即集合中包含的元素的“个数”(参见势的比较),是日常交流中基数的概念在数学上的精确化(并使之不再受限于有限情形)。有限集合的基数,其意义与日常用语中的“基数”相同,例如的基数是3。无限集合的基数,其意义在于比较两个集的大小,例如整数集和有理数集的基数相同;整数集的基数比实数集的小。

历史

阿列夫数Aleph-0,最小的无限基数

康托尔在1874年-1884年引入最原始的集合论(现称朴素集合论)时,首次引入基数概念。 他最先考虑的是集合,它们并非相同,但有相同的基数。骤眼看来,这是显而易见,但究竟何谓两个集合有相同数目的元素?

康托尔的答案,是透过所谓的一一对应,即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到,两个集合的基数自然相同。这答案,容易理解但却是革命性的,因为用相同的方法即可比较任意集合的大小,包括无穷集合。

最先被考虑的无穷集合是自然数及其无限子集。他把所有与能一一对应的集为可数集。令康托尔意外的是,原来的所有无限子集都能与一一对应。他把的基数称为,是最小的艾礼富数

康托尔发现,原来有理数集合与代数数集合也是可数的。于是乎在1874年初,他尝试证明是否所有无限集合均是可数,其后他得出了实数集不可数的结论。原先的证明用到了涉及区间套的复杂论证,而在他1891年的论文中,他以简单而巧妙的对角论证法重新证明了这一结果。实数集的基数,记作c,代表连续统

接着康托尔构作一个比一个大的集合,得出一个比一个大的基数,而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论,需要一个新的语言描述,这就是康托尔发明集合论的主因。

康托尔随后提出连续统假设:c就是第二个超穷基数,即継之后最小的基数。现已知这假设是不能证明的,即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论

动机

在非正式使用中,基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于自然数(就是)。计数可以形式化地定义为有限基数,而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。

更正式地,一个非零的数可以用于两个目的:描述一个集合的大小,或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列,可以轻易的看出着两个概念是相符的,因为对于所有描述在序列中的一个位置的数,我们可以构造一个有正好大小的集合,比如3描述了在序列中的位置,并且我们可以构造有三个元素的集合。但是在处理无限集合的时候,在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面会引申出序数的概念,而大小则被这里描述的基数所广义化。

在基数的形式定义背后的直观想法是,可以构造一个记号来指明集合的相对大小,而不需理会它有哪些种类的成员。对于有限集合这是容易的;只需简单的数算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小,得借助更加巧妙的概念。

一个集合至少等大小于(或称大于等于)一个集合,如果有从的一个单射(一一映射)。一一映射对集合的每个元素确定了一个唯一的集合的元素。通过例子就最易理解了;假设有集合,我们可以注意到有一个映射

这是一对一的,使用上述的大小概念,我们因此总结出有大于等于的势。注意元素没有元素映射到它,但这是允许的,因为我们只要求一一映射,而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。

我们可以把这个概念扩展到一个类似于等式的关系。两个集合X和被称为有相同的'势',如果存在之间的双射。通过Schroeder-Bernstein定理,这等价于有从和从的两个一一映射。我们接着记之为 的基数自身经常被定义为有着 的最小序数。这叫做冯·诺伊曼基数指派;为使这个定义有意义,必须证明所有集合都有同某个序数一样的势;这个陈述就是良序原理。然而即使不给集合的势指派一个名字,讨论集合之间相对的势还是可以的。

一个经典例子是无限旅馆悖论,也叫做希尔伯特旅馆悖论。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满,而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2,房间2的客人转移到房间3,以此类推,腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段:

...
...

在这种方式下我们可以看出集合和集合有相同的势,因为已知这两个集合之间存在双射。这便给"无限集合"提供了一个合适的定义,即是与自身某个真子集有着相同的势的任何集合;在上面的例子中的真子集。

当我们考虑这些大对象的时候,我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事实上是不一致的;通过考虑上面的例子,我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在,它必须跟起初的无限集合有一样的势。这时候可以使用另一种称为序数的形式概念,它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们会发现,势和序(ordinality)的概念对于无限的情况是有分歧的。

可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。透过对角论证法可以一目了然;跟势相关的经典问题(比如连续统假设)主要关注在某一对无限基数之间是否有别的基数。现时数学家已经在描述更大更大基数的性质。

因为基数是数学中如此常用的概念,有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势、均势或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。

定义

首先,给出集合,我们称的势小于等于,记作 ,当且仅当存在由单射;称的势与相等,记作 , 当且仅当存在由双射(即一一对应)。

康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出如果

假设选择公理,所有集合都可良序,且对于所有集合,有 。因此,我们可以定义序数,而 集合基数则是与等势的最小序数

(若不接受选择公理,我们也可对非良序集定义基数,就是所有与等势的集的阶中最小者。)

有限集的基数

自然数的一种定义是。可以见到,与数等势的集必有个元素。如集合的基数为

以下是有限集的三个等价定义:它与某自然数等势;它只有一个等势的序数,就是它的基数;它没有等势的真子集。

无限集的基数

最小的无限集合是自然数集。基数相同,因为可以让前一集合的与后一集合的一一对应。从这个例子可以看出,对于一个无穷集合来说,它可以和它的一个真子集有相同的基数。

以下是无限集的四个等价定义:它不与任何自然数等势;它有超过一个等势的序数;它有至少一个真子集和它等势;存在由自然数集到它的单射。

基数算术

我们可在基数上定义若干算术运算,这是对自然数运算的推广。

给出集合,定义 ,则基数和是

不相交,则

基数积是

其中笛卡儿积

基数指数是

其中是所有由函数的集合。

在有限集时,这些运算与自然数无异。一般地,它们亦有普通算术运算的性质:

  • 加法和乘法是可交换的,即
  • 加法和乘法符合结合律
  • 分配律,即

无穷集合的加法及乘法(假设选择公理)非常简单。若皆非空而其中之一为无限集,则

注意幂集之基数。由对角论证法可知,是以并不存在最大的基数。事实上,基数的真类

还有些关于指数的性质:

  • (特别地,)。
  • ,若非空。
  • ,则
  • 俱有限且大于1,而是无穷集,则
  • 若X是无穷而是有限及非空,则

基数序列及连续统假设

对每一个基数,存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是,康托尔称下一个为,相类似的,还定义了如下一个序列

注意。连续统假设猜想,就是

连续统假设是与一般集论公理(即Zermelo-Fraenkel公理系统加上选择公理)是独立的。

更一般的假设,即

广义连续统假设,就是对所有无穷基数,都不存在介乎之间的基数。

参考文献

  • Hahn, Hans, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
  • Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).

外部链接


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