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哈密顿原理本文重定向自 哈密頓原理

威廉·哈密顿

物理学里,哈密顿原理(英语:Hamilton's principle)是爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于1833年发表的关于平稳作用量原理的表述。哈密顿原理阐明,一个物理系统的拉格朗日函数,所构成的泛函变分问题解答,可以表达这物理系统的动力行为。拉格朗日函数又称为拉格朗日量,包含了这物理系统所有的物理内涵。这泛函称为作用量。哈密顿原理提供了一种新的方法来表述物理系统的运动。不同于牛顿运动定律微分方程方法,这方法以积分方程来设定系统的作用量,在作用量平稳的要求下,使用变分法来计算整个系统的运动方程

虽然哈密顿原理本来是用来表述经典力学,这原理也可以应用于经典场,像电磁场重力场,甚至可以延伸至量子场论等等。

概念

微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出,随着极小的时间、位置、或其他变数的变化,一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变,又加上已知这变数在某一点的数值或导数值,就能求得物理变数在任何点的数值。

哈密顿原理用积分方程来表述物理系统的运动。我们只需要设定系统在两个点的状态,叫做最初状态与最终状态。然后,经过求解系统作用量的平稳值,我们可以得到系统在,两个点之间,其他点的状态。不但是关于经典力学中的一个单独粒子,而且也关于经典电磁场万有引力场,这表述都是正确的。更值得一提的是,现今,哈密顿原理已经延伸至量子力学量子场论了。

变分法数学语言来表述,求解一个物理系统作用量的平稳值(通常是最小值),可以得到这系统随时间的演变(就是说,系统怎样从一个状态演变到另外一个状态)。更广义地,系统的正确演变对于任何摄动必须是平稳的。这要求导致出描述正确演变的微分方程。

定义

哈密顿原理阐明,一个物理系统的拉格朗日函数所构成的作用量泛函,其平稳值是这物理系统的真实演化。

以数学方程表示,定义作用量为

其中,是系统的拉格朗日函数广义坐标时间的函数,分别为初始时间和终结时间。

假若,作用量的一次变分,作用量为平稳值,则正确地描述这系统的真实演化。[1]:2

拉格朗日方程导引

从哈密顿原理可以推导出拉格朗日方程。假设是系统的正确运动,摄动函数为一个虚位移,虚位移在轨道的两个端点的值是零:

取至的一阶摄动,作用量泛函的一次变分

这里,我们将拉格朗日量展开至的一阶摄动。

应用分部积分法于最右边项目:

边界条件使第一个项目归零:

作用量泛函平稳的要求意味着,对于正确运动的任意摄动,一次变分必须等于零:

特别注意,我们没有对广义坐标做任何要求。在这里,我们要求所有的广义坐标都互不相依;也就是说,这系统是完整系统。这样,我们可以应用变分法基本引理而得到拉格朗日方程:

在各个物理学领域,拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程,能够用来精确地理论分析许多物理系统。[1]:2-3

参阅

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 列夫, 朗道. 理论物理学教程-第一卷 力学. 北京: 高等教育出版社. 2007. ISBN 9787040208498.
  • Herbert Goldstein (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.
  • 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics(Butterworth-Heinenann, 1976), 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0.
  • Arnold VI.(1989)Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61.

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