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周环

代数几何中,代数簇周环(得名于周炜良)是簇作为拓扑空间的上同调环的替代品:子簇(所谓代数圈)构成了它的元素,而其乘法结构来自子簇的相交。事实上,两环间有一自然映射,它保持了二者都有的几何概念(例如陈类、相交配对以及庞加莱对偶)。周环的优势在于其几何定义不需使用非代数概念。并且,使用了纯拓扑情况下不可用的代数工具后,某些两环都有的构造在周环中更简单。

有理等价

定义周环前,我们需先定义“有理等价”。如名字所暗示,它是一个等价关系。假定X是一代数簇,Y、Z是其子簇,若存在一包含于积族P1×X中,且以P1参数化的平坦族,使得Y和Z是它的两个纤维,我们就称Y和Z有理等价。用古典语言来说,我们想要一个积族的子簇,Y和Z是其两纤维,且其所有纤维有相同的希尔伯特多项式。若我们将P1当作一条线,则此概念就是配边的代数模拟。

周环的定义

有理等价的定义隐含了有理等价的两子簇维数相同。为了构造周环,我们将采用余维数(X本身与子簇的维数差),这样乘积才运行良好。对满足的整数k,我们定义群Ak(X)为余维数k的子簇的形式和,再模掉有理等价。 周环自身是它们的直和,即:

环的结构以簇的相交给出:如果两个等价类分别在Ak(X)和Al(X)中,我们定义它们的积为

此定义有一系列技术细节,我们将在下面讨论。可以肯定地说,在最好的情形(在有理等价下总成立),此交有余维数k + l,因而在Ak + l(X)中。这使得周环成为分次环。周环的元素常被称为“圈”

几何解释

周环的几何内涵混合了有理等价和相交积,这使得似乎形式的数字系数得以被解释为子簇的度。例如,射影空间Pn的周环是

是超平面(单个线性函数的零点轨迹)的有理等价类。更进一步,任何度为d而余维数为k的子簇都有理等价于。这意味着,如果有两个子簇有互补的维数(它们维数和为n)且度数分别为d、e,则它们的积就是

是单点的等价类。至少在YZ横截相交时(参见此处),这说明它们恰有de个交点。这实则是贝祖定理。类似于此的观察被极大地推广,产生了计数几何。

函子性

圈的函子性,即定义在代数圈群Z*(X)层面上的平坦拉回和适当前推可扩展至周环,这给出群同态

事实上,给出在整个周环上的环同态(遵从相交积,至少在集合论层面上这是显然的),但不行(因为集合论层面上它就不行:我们并不总有)。但是我们有所谓“投影公式”:对X的子簇YX′的子簇Y′

上同调联系

周环非常像X上的整值上同调。事实上,有显然的映射

(以上记号代表在偶维数生成的上同调环)。它将每个有理等价类先送到由闭子簇Y决定的同调类,再送到它的庞加莱对偶(这解释了偶维数:复代数簇总有偶实维数,因此决定了偶维数的同调类)。可以证明,同一个有理等价类被送到同一个上同调类。更进一步,庞加莱对偶性的一部分说明同调类的相交积对应于上同调类的杯积,因此这映射是环同态。

有不少事实对周环和上同调环有完全相同的形式。例如推拉公式在同调和上同调中都成立。进一步,一基本结果声称,Pn的上同调环和以上给出的周环是一样的,乃至的解释都一样(这说明,对射影空间,实际上上一段定义的映射是同构)。但是对此结果,上同调证明技巧性颇高。相反,对周环我们给出一个相当简单的几何证明:

首先,设H为一超平面,从而同构于Pn − 1。任何另外的超平面J有理等价与它,因为若它们分别由线性形式LM定义,我们可以把它们当成Pn中的点(通过其系数),由此可得它们间唯一的线。线上的点都是线性形式,从而定义了一族超平面,且由构造HJ皆在其中。H中的超平面,且由定义它的等价类为。这样我们便有一族超平面,其中每个都嵌在前一个中,依次同构与对应的射影空间且等价于的幂。

鉴于这些发现,我们考察任意余维数k度数d的子簇。如果k=0,那么Y必须等于Pn本身,因为射影空间不可约。如果k不是0,不妨假定H由令最后一个座标为0定义,且不在Y中。对每个P1中不是的点,定义映射

Y在这些映射下的像形成了一个在P1除去一点上的簇族。我们在 P1 × Pn中取闭包来得到Y的有理等价(这是一个等价关系得自一个非平凡但标准的事实:取闭包对应于取“平坦极限”)。如此,无穷远点处的纤维就是Y到超平面H上的投影,因此有与Y相同的度和维数。因为H本身就是射影空间,我们可重复此过程直到Y维数过大不能继续。由此可得Y有理等价与,而且我们已经找到了积结构。

一个类似的证明建立此定理的推广,在上同调中以勒雷-赫希定理闻名。它用对应纤维丛的陈类和底空间的周环计算了射影空间丛的周环。上同调的证明则要用到谱序列

某些事实在周环中不成立,但在上同调环中成立。尤其是Künneth公式不成立,尽管勒雷-赫希定理对射影空间的积重建了它。进一步,尽管周环在簇上有逆变函子性,但在代数拓扑的意义下它构不成上同调理论,因为没有“相对周群”的概念。的确,在代数簇中,没有边界的概念,因此正面考虑替代品是无望的。

构造的细节

上面所给Ak(X)的构造需要一些关于“模掉有理等价”的说明。相关的技术细节是,就像在计算射影空间周环时一样,有时两个并非簇对应的圈有理等价,尽管有理等价似乎仅仅与集合结构有关。解法是由概形理论而来,即一个由理想定义的子簇可以被认为有重数d如果我们代理想。这样有理等价的古典陈述便不够了,且我们必须密切关注平坦族的细节。最后,等价类的形式和,例如aY + bZ,应该被认为是“有度的簇”aYbZ的不交并,一旦建立了这些约定,我们就可借有理等价为圈的自由阿贝尔群上的等价关系来得到周环。

相交积的定义有点更加复杂。主要问题是在相交中保持正确的维数。如果YZ是两个余维数为kl的子簇,它们的交并非总有余维数k+l。就如平凡的例子,两簇可能完全相同。为了克服此难处,我们可以证明“移动引理”。它断定在任何两个有理等价类中,我们总可以找到一般横截的两代表元,此时它们的交表现良好。子簇的横截性定义类似于流形的:先定义子簇的扎利斯基切空间,它们自然是X的切空间的子空间。如果这些子空间张成X的切空间,那么此交是横截的。如果横截性在它的一个稠密子集上成立,那么它是一般横截的。

某种意义上,对于可对上同调环证明的事实,声称周环可给出更简单的证明有些狡猾。特别是概形论的构造、平坦族和平坦极限,以及移动引理都解决了大量隐藏于周环下的技术困难。但是,这些技术细节大都是理论的基础,一旦它们被建立,几何上的优势就很明显了。

发展

周群被拓展至高阶周群,这平行于从K0 (零阶代数K-理论)到高阶代数K-理论的拓展。[1]

算术周群是Q上代数簇的周群与记录阿基洛夫理论信息——即有关复流形结构的信息——部分的混合。[2]

历史

有理等价和环A*在20世纪初由意大利代数几何学派定义,且被Severi和他的学派使用(可参考Severi的论文[3][4],他本质上研究了代数曲面S的群A0(S);也可参阅芒福德论文开头的评论[5])。 Serge在他1930年的论文[6]中用了对奇异曲线的环A0更精细的研究来描述P2中代数曲面的支线。在1956年周炜良写了一篇重要的论文[7]后,环A*被称作周环。有些几何学家坚持是格罗滕迪克提出将此环命名为周环。


参考文献

  • Bloch, Spencer, Algebraic cycles and higher K-theory, Advances in Mathematics, 1986, 61 (3): 267–304, ISSN 0001-8708, MR852815
  • Chow, Wei-Liang, On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, 1956, 64: 450–479, ISSN 0003-486X
  • Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR1644323
  • Gillet, H.; Soulé, C., An arithmetic Riemann–Roch Theorem, Invent. Math., 1992, 110: 473–543, doi:10.1007/BF01231343

注释

  1. ^ (Bloch 1986
  2. ^ (H. Gillet & C. Soulé 1992
  3. ^ F. Severi, "La base per le varieta algebriche di dim ensione qualunque contenute inunadata", Mem. della R. Accad. d'Italia, 5, (1934), p. 239
  4. ^ F. Severi, "The series of sets of points on an algebraic surface", Proc. Imp. Acad. Volume 12, Supplement (1936), 1-7
  5. ^ D.Mumford, "Rational equivalence of 0-cycles on surfaces", J. Math. Kyoto Univ. Volume 9, Number 2 (1969), 195-204
  6. ^ B. Segre, "Sulla Caratterizzazione delle curve di diramazione", Mem. R. Acc. d'Italia, I 4 (1930)
  7. ^ W.L. Chow, "On equivalence classes of cycles in an algebraic variety", Annals of Mathematics, 1956

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