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周期函数

数学中,周期函数是无论任何独立变量上经过一个确定的周期之后数值皆能重复的函数。我们日常所见的钟表指针以及月亮月相都呈现出周期性的特点。周期性运动是系统的运动位置呈现周期性的运动。

对于实数或者整数函数来说,周期性意味着按照一定的间隔重复一个特定部分就可以绘制出完整的函数图。如果在函数中所有的位置都满足

那么,就是周期为的周期函数。非周期函数就是没有类似周期的函数。

如果周期函数的周期为,那么对于中的任意以及任意整数,有

,则。但是函数周期不一定是满足上述等式的最小值,也可以是

的图,二者的周期都是

一个简单的例子是的小数变量:

其中有一些例子是锯齿波方波以及三角形波

三角函数正弦函数余弦函数都是常见的周期函数,其周期为傅立叶级数研究的就将任意的周期函数用合适的三角函数的和来表示。

复数函数可能会有两个不相称的周期,椭圆函数就是类似的函数。

通用定义

封闭性运算上的一个集合,在中周期为的周期函数是满足如下条件的函数集合

对于中的所有,满足

注意:除非可交换的,否则必须位于右侧。

周期不是唯一的,的所有整数倍都是函数的周期。若最小正周期存在,则称为函数的基本周期

周期序列

一些自然出现的序列也是周期性的,如一些有理数中的循环小数,因此我们可以说序列中的周期只是通用定义的一种特例。

平移对称

如果用周期函数描述一件物体,如用位置的函数表示无限图像的颜色,那么函数的周期性就对应于物体的平移对称

参见

外部链接


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