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向量分析

向量分析(或向量微积分)是数学的分支,关注向量场微分积分,主要在3维欧几里得空间 中。“向量分析”有时用作多元微积分的代名词,其中包括向量分析,以及偏微分多重积分等更广泛的问题。向量分析在微分几何偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理工程中,特别是在描述电磁场引力场和流体流动的时候。

向量分析从四元数分析发展而来,由约西亚·吉布斯奥利弗·黑维塞于19世纪末提出,大多数符号和术语由吉布斯和爱德华·比德韦尔·威尔逊英语Edwin Bidwell Wilson在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积,不能推广到更高维度,而另一种几何代数英语Geometric algebra的方法,它利用可以推广的外积,下文将会讨论。

向量运算

代数运算

向量分析中的基本代数(非微分)的运算称为向量代数,定义在一向量空间,然后应用到整个向量场,包括:

标量乘法
标量场和向量场相乘,产生向量场: ;
向量加法
两个向量场相加,产生向量场: ;
内积
两个向量场相乘,产生标量场: ;
外积
两个向量场相乘,产生向量场: ;

还有两个三重积

标量三重积
向量和两个向量叉积的点积:  ;
向量三重积
向量和两个向量叉积的叉积:  ;

尽管三重积不常作为基本运算,不过仍可以用内积及外积表示。

微分运算

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子,通常用的向量算子(∇)来表示,也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算:

算子 表示 叙述 界域
梯度 标量场 于场中某点增加率最大的速率与方向 标量场的梯度是向量场
散度 向量场 于场中某点附近发散汇聚的程度 向量场的散度是标量场
旋度 向量场 于场中某点附近旋转的程度 向量场的旋度是向量场
向量拉普拉斯算子英语Vector Laplacian 均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度 向量场的向量拉普拉斯是向量场
拉普拉斯算子 对标量场 梯度运算后,再作散度运算 标量场的拉普拉斯是标量场

定理

同样,也有几个与这几个相关的重要定理,将微积分基本定理拓展到了更高维度:

定理 表示 注解
梯度定理 梯度(向量)场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理 平面内向量场中区域的标量旋度,等于向量场沿逆时针方向的封闭曲线的线积分。
斯托克斯定理 内向量场的旋度的曲面积分,等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理 \oiint 向量场的散度对体积的积分,等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

参见

延伸阅读



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