万维百科

同调球面

数学的代数拓扑学中,同调球面n流形X,具有n-球面同调群。在此n ≥ 1是整数。换言之,

H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z)
对所有其他iHi(X,Z) = {0} .

因此X是一个连通空间,仅有一个非零的高阶贝蒂数bn(除了 b0=1 外)。

由于Hn(X,Z)非零,故X紧致可定向的。

n > 1时,虽然H1(X,Z) = {0},不过并不表示X单连通的,即X基本群未必是平凡的,只表示其基本群完满群。(参看Hurewicz定理)

有理同调球面的定义与上述类似,不过用有理系数的同调群代替。

庞加莱同调球面

庞加莱同调球面(又称为庞加莱十二面体空间)是同调球面的一个例子。庞加莱同调球面是球面3-流形英语spherical 3-manifold,因此基本群是有限的。同调3-球面中,除了3-球面之外,就只有庞加莱同调球面有有限基本群。它的基本群称为binary icosahedral group英语binary icosahedral group,这个群的目是120。

庞加莱在1900年猜想使用同调群就可以分辨3-流形是否3-球面,1904年他提出了这个反例,并引入了基本群概念证明他的反例不是球面,又将原来的猜想修改为庞加莱猜想

构造法

庞加莱同调球面的一个简单构造法是使用正十二面体。将正十二面体的每个面与相对的另一面等同,将两个面用顺时针方向的最小“扭转”重合。这样黏合后得出的是闭3-流形。(参看用相似构造法及较大的“扭转”而成的Seifert–Weber space英语Seifert–Weber space,得出的是一个双曲3-流形。)

另一个得出庞加莱同调球面的方法,是用商空间SO(3)/I,此处 I 是二十面体群,就是正二十面体和正十二面体的旋转对称群同构交错群A5。更直观地说,庞加莱同调球面就是正二十面体在三维欧几里得空间中,所有可从几何区别的位置所组成的空间。

性质

二重悬垂定理英语Double suspension theorem指一个同调球面的二重悬垂是一个拓扑球面。

应用

A是一个不同胚于3-球面的同调3-球面,则A悬垂英语suspension (topology)是一个4维同调流形,却不是拓扑流形A的二重悬垂同胚于5-球面,但是从A三角剖分英语Triangulation (topology)诱导出来的三角剖分不是分片线性流形英语Piecewise linear manifold。换言之,这给出了一个有限单纯复形例子,是拓扑流形,但不是分片线性流形,

Galewski-Stern证明了任何至少5维的(无边)紧流形都同胚于某单纯复形,当且仅当存在一个同调3-流形Σ,其Rokhlin不变量英语Rokhlin invariant是1,使得它与自身的连通和Σ#Σ包围了一个光滑零调(acyclic)4-流形。2013年,Ciprian Manolescu证明了不存在这样的同调3-流形Σ。[1]因此存在5-流形不同胚于单纯复形。特别地,Galewski-Stern原来给出的例子是不可三角剖分的。[2]

参考

  1. ^ Manolescu, Ciprian. Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture. arXiv:1303.2354. To appear in Journal of the AMS.
  2. ^ D. Galewski and R. Stern. A universal 5-manifold with respect to simplicial triangulations, in Geometric topology. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) (New York: Academic Press). 1979: pp.345–350.

参看

外部链接


本页面最后更新于2021-06-05 23:23,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器