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同伦群本文重定向自 同伦群

数学中,同伦群拓扑空间的一种同伦不变量。同伦群的研究是同伦理论的基石之一,一般空间的同伦群极难计算,即使对球面 的情形,至今也没有完整结果。

定义

为拓扑空间而 球面。选定基点 。定义 ,也就是由保持基点的连续映射 同伦类构成的集合。为了方便起见,以纬垂坐标表示球面上的点,即: 表示 在商映射 下的像。取 的基点为


注意到当 时, 的元素一一对应到 的连通分支。

基本群的群运算

对于 带有自然的群结构:首先,我们构造一个连续映射:

在此 定义为将两份 沿基点黏合得到的拓扑空间。映射 定义为

直观来看, 的效应相当于将球面 沿赤道掐扁。

给定 ,我们定义 ,由于 ,此函数有完善的定义。此外也不难验证 仅依赖于 的同伦类。

可以证明运算 满足公理,其单位元素为常值映射 不外就是基本群;而当 时,阿贝尔群,称为高阶同伦群。不同基点对应的同伦群只差一个自然同构。

若在定义中省掉基点,则得到的集合 等同于 作用下的轨道集。可见若 未必有自然的群结构。

纤维化导出长正合序列

为保基点的塞尔纤维化,纤维的同伦类定义为 。此时可导出同伦群的长正合序列(以下略去基点):

尽管这里的 只是个集合,而 未必是阿贝尔群,它们仍带有特殊的元素( 的单位元、 中包含基点的连通分支),可以用这些元素定义正合序列。

纤维化映射是计算高阶同伦群的基本手段。

相对同伦群

给定 ,可以定义相对同伦群 为映射 的同伦类,这意味着我们仅考虑满足 的连续映射,以及其间满足相同限制的同伦。若取 为一点,便回到同伦群的原始定义。相对同伦群也有纤维化长正合序列。

文献

  • Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002 [2008-04-15], ISBN 978-0-521-79540-1, (原始内容存档于2012-02-20)

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