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双曲复数乘法表
× 1 j
1 1 j
j j 1

双曲复数(英语:hyperbolic numbersSplit-complex number),是异于复数而对实数所做的推广。

定义

考虑数,其中实数,而量不是实数,但是实数。

选取,得到一般复数。取的话,便得到双曲复数。

定义双曲复数的加法乘法如下,使之符合交换律结合律分配律

共轭、范数

对于,其共轭值。对于任何双曲复数

可见它是自同构的。

定义内积 。若 ,说(双曲)正交。

双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积,即自身和其共轭值之乘积(闵可夫斯基范数):

这个范数非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变:

除法

除了0之外,也不是每个双曲复数都有乘法逆元。

由此可见,双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。其形式均为,其中是实数。

双曲复数的幂等元有:

列方程。有四个解:

s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的

若将表示成,双曲复数的乘法可表示成 。因此,在这个基里,双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。

共轭可表示为,范数

几何

有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间,表示为R1,1。正如欧几里得平面R2的几何学可以复数表示,闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。

R,对于非零的,点集 双曲线。左边和右边的会经过称为单位双曲线。

共轭双曲线是 ,会分别经过。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 分开。

欧拉公式的相应版本是

历史

1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。

20世纪,双曲复数成为描述狭义相对论劳仑兹变换的工具,因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。


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