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卡诺图

卡诺图真值表的变形,它可以将有n个变量的逻辑函数个最小项组织在给定的长方形表格中,同时为相邻最小项(相邻与项)运用邻接律化简提供了直观的图形工具。但是,如果需要处理的逻辑函数的自变量较多(有五个或更多的时候,此时有些项就很难圈了),那么卡诺图的行列数将迅速增加,使图形更加复杂。[1]:189

卡诺图是贝尔实验室的电信工程师,莫里斯·卡诺(Maurice Karnaugh)在1953年发明的。

变量卡诺图

  • 表示各最小项的(n-变量数)个小格,排列呈矩形。
  • 小格按“格雷码” 排列,保证最小项间“几何相邻”与“逻辑相邻性”的统一。(几何相邻有“内相邻” “外相邻”和“中心对称”)

Kanuo1.jpg

  • 一个化简4变量卡诺图的例子:
某函数的真值表
  A B C D
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 0
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 1
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 1
15 1 1 1 1 0

接下来我们用两个不同的写法,及四个不同的布尔变量A, B, C, D和他们的相反值,来表示同一个尚未化简的布尔代数

  • 这个是卡诺图的最小项(即圈出来的值在真值表上显示为1)。
  • 这个 是卡诺图的最大项(即圈出来的值在真值表上显示为0)。

函数卡诺图

把函数包含的所有最小项,以“1”填入变量卡诺图对应编号的小格内。

Kanuo2.jpg

用卡诺图化简逻辑函数的步骤

  • 如果表达式为最小项表达式,则可直接填入卡诺图
  • 如表达式不是最小项表达式,但是“与—或表达式”,可将其先化成最小项表达式,再填入卡诺图。也可直接填入。
  • 合并相邻的最小项,即根据下述原则画圈
    • 尽量画大圈,但每个圈内只能含有(n=0,1,2,3……)个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
    • 圈的个数尽量少。
    • 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过,即不能漏下取值为1的最小项。
    • 在新画的包围圈中至少要含有1个未被圈过的1方格,否则该包围圈是多余的。
  • 写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项,规则是,取值为l的变量用原变量表示,取值为0的变量用反变量表示,将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加,即得最简与—或表达式。

在进行化简时,如果用图中真值为0的项更方便,可以用他们来处理,方法和真值取1时一样,只是结果要再做一次求反。


参考文献

引用

  1. ^ Stephen Brown, Zvonko Vranesic. Fundamentals of Digital Logic with Verilog Design. McGraw-Hill Education. ISBN 0-07-283878-7.

来源

期刊文章
  • Karnaugh, Maurice. The Map Method for Synthesis of Combinational Logic Circuits. Transactions of American Institute of Electrical Engineers part I. November 1953, 72 (9): 593–599.

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