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傅科摆
钟摆原理

是一种实验仪器,可用来展现种种力学现象。最基本的摆由一条或竿,和一个锤组成。锤系在绳的下方,绳的另一端固定。当推动摆时,锤来回移动。摆可以作一个计时器。

类型

小角度简单摆

若最高处(v=0)的绳子和最低处(速度最大值)的绳子的角度为,符合:

  • (theta << 1 径度)

则可使用下列公式算出它的振动周期

周期公式

  • (摆长为 L米;符号g代表重力加速度)

摆长为 0.1米 T = 0.634s

公式证明

一单摆摆锤正在摆荡最高处(此时v=0),绳和垂直线有夹角,绳长为,相对于中间摆物的位移为

此物体受下列力的影响 [下列说明错误,绳子的张力是因为摆锤重力引起,任何一瞬间摆锤法向(径向)合力为零,但切线加速度为 ]

  • 绳子之拉力大小
  • 重力大小

绳子的拉力有分力




解得

代入

得到

根据广义相对论可知,

简单摆

Simple pendulum height.png
sin θ 取为θ的误差。

为绳的长度, 为绳和垂直平面的线的交角, 的最大值, 为锤的质量, 表示角度加速度

忽略空气阻力以及绳的弹性、重量的影响:

  • 锤速率最高是在 时。当锤升到最高点,其速率为 0。绳的张力没有对锤做功,整个过程中动能和位能的和不变。
  • 运动方程为:

注意不论θ的值为何,运动周期和锤的质量无关。

相当小的时候,,因此可得到一条齐次常系数微分方程。此为一简谐运动,周期

准确的运动周期不可以用基础函数求得。考虑微分方程:

将上式重写成第一类椭圆函数的形式:

其中

周期可以用级数表示成:

冲击摆

Ballistic pendulum.svg

冲击摆是来用计算子弹速度的实验室仪器。它的原理为:物件碰撞前后动量守恒,摆运动时能量守恒

冲击摆和普通摆相似,特别之处它的锤会和射入子弹产生完全非弹性碰撞,即碰撞后两者会合为一。

将子弹射向停止的锤,使锤和子弹合在一起摆动。设锤质量为,子弹质量和初速度分别为v,锤和子弹碰撞后的速度为u

以下是子弹速度的计算方法:

动量守恒定律

能量守恒定律

解得

倒单摆

和台车和倒单摆组成的系统

倒单摆有许多不同的架构,常见的有二种。

最简单的是无质量的直杆一端接在固定的枢纽上,另一端连结重量,此架构类似一般单摆,但因为重量在枢纽点上方,直杆在重量下方,需支持重物不落下,因此会将单摆的线改为有刚性的直杆。

另外一种是将倒单摆放在可以一维水平运动的台车上,透过台车的水平运动来控制摆的位置。

倒单摆在摆直立朝上时可以平衡,不过是不稳定平衡,需要透过控制系统才能维持平衡。

锥摆

锥摆的路径是平面上圆。摆运动时,绳的路径为一个圆锥面。这是圆周运动

复摆(物理摆/compound pendulum)

当质量不集中或不规则的物体以转轴吊起摆动时,此摆称作复摆(物理摆)。由于有质量分布的缘故,周期跟刚性物体重心对转轴的转动惯量(I)有关。根据平行轴定理及可以求出小角度复摆周期为

双摆(complex pendulum/double pendulum)

双摆系统的一例

双摆系统是混沌的。

磁性摆

和双摆一样,磁性摆系统是混沌的。

应用

傅科摆

傅科摆的移动可作为地球自转的证据。

钟摆

摆钟。

为了减少温度变化的影响,有不同的设计:

参考

  • Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
  • The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005

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