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力矩

在一个旋转系统里,作用力、位置矢量、力矩、动量、角动量,这些物理量之间的关系。

物理学里,作用力促使物体绕着转动轴支点转动的趋向,[1]称为力矩(英语:torque 或 moment),也就是扭转的力。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力 ,而扭转则涉及到力矩。如图右,力矩等于径向矢量与作用力外积

简略地说,力矩是一种施加于好像螺栓飞轮一类的物体的扭转力。例如,用扳手的开口箝紧螺栓螺帽,然后转动扳手,这动作会产生力矩来转动螺栓或螺帽。

根据国际单位制,力矩的单位是牛顿。本物理量非能量,因此不能以焦耳(J)作单位;根据英制单位,力矩的单位则是英尺磅。力矩的表示符号是希腊字母,或

力矩与三个物理量有关:施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为

力矩的大小为

历史

力矩的概念,起源于阿基米德杠杆的研究。

定义

用右手定则决定力矩方向

力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如,3 牛顿的作用力,施加于离支点2 处,所产生的力矩,等于1牛顿的作用力,施加于离支点6米处,所产生的力矩。力矩是个矢量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定则来决定。假设作用力垂直于杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯卷,伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线,则大拇指指向力矩的方向[2]

假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点(以红点表示)为参考点,只有垂直分量会产生力矩。这力矩的大小为,方向为垂直于屏幕向外。

更一般地,如图右,假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点为参考点,力矩以方程定义为

力矩大小为

其中,是两个矢量之间的夹角。

力矩大小也可以表示为

其中,是作用力对于的垂直分量。

任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。

从叉积的性质,可推论,力矩垂直于位置矢量和作用力。力矩的方向与旋转轴平行,由右手定则决定。

力矩与角动量之间的关系

地心引力的力矩造成角动量的改变。因此,陀螺呈现进动现象。

假设一个粒子的位置为,动量为。选择原点为参考点,此粒子的角动量

粒子的角动量对于时间的导数为

其中,是质量,是速度,是加速度。

应用牛顿第二定律,可以得到

按照力矩的定义,,所以,

作用于一物体的力矩,决定了此物体的角动量对于时间的导数。

假设几个力矩共同作用于物体,则这几个力矩的合力矩共同决定角动量的对于时间的变化:

关于物体的绕着固定轴的旋转运动,

其中,是物体对于固定轴的转动惯量是物体的角速度

所以,取上述方程对时间的导数:

其中,是物体的角加速度

单位

力矩的定义是距离乘以作用力。根据国际单位制,力矩的单位是牛顿[3](Nm)。虽然牛顿与米的次序,在数学上,是可以交换的,但是国际重量测量局(Bureau International des Poids et Mesures)规定这次序应是牛顿米,而不是米牛顿[4]

根据国际单位制能量功量的单位是焦耳,定义为1牛顿米。但是,焦耳不是力矩的单位。因为,能量是力点积距离的标量;而力矩是距离叉积作用力的矢量。当然,量纲相同并不尽是巧合,使1牛顿米的力矩,作用1 全转,需要恰巧焦耳的能量:

其中,是能量,是移动的角度,单位是弧度

根据英制,力矩的单位是英尺磅。

矩臂方程

矩臂图

在物理学外,其他的学术界里,力矩时常会如以下定义:

右图显示出矩臂(moment arm)、前面所提及的相对位置、作用力(force)。这个定义并没有指出力矩的方向,只有力矩的大小。所以,并不适用于三维空间问题。

静力概念

当一个物体在静态平衡时,合力是零,对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

这里,是作用力分别在x-轴与y-轴的分量。假若,这三个联立方程有解,则称此系统为静定系统;不然,则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之间的关系

假设施加作用力于一物体,使得此物体移动一段距离,则作用力对于此物体做了机械功。类似地,假设施加力矩于一物体,使得此物体旋转一段角位移,则力矩对于此物体做了机械功。对于穿过质心的固定轴的旋转运动,以数学方程表达,

其中,是机械功,分别是初始角和终结角,是无穷小角位移元素。

根据功能定理也代表物体的旋转动能的改变,以方程表达,

功率是单位时间内所做的机械功。对于旋转运动,功率以方程表达为

请注意,力矩注入的功率只跟瞬时角速度有关,而角速度是否在增加中,或在减小中,或保持不变,功率都与这些状况无关。

实际上,在与大型输电网络相连接的发电厂里,可以观察到这关系。发电厂的发电机的角速度是由输电网络的频率设定,而发电厂的功率输出是由作用于发电机转动轴的力矩所决定。

在计算功率时,必须使用一致的单位。采用国际单位制,功率的单位是瓦特,力矩的单位是牛顿-米,角速度的单位是每秒弧度(不是每分钟转速rpm,也不是每秒钟转速)。

力矩原理

力矩原理阐明,几个作用力施加于某位置所产生的力矩的总和,等于这些作用力的合力所产生的力矩。力矩原理又名伐里农定理(Varignon's theorem)[5](以法国科学家兼神父皮埃尔·伐里农命名),以方程表达,

参阅

参考文献

  1. ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
  2. ^ *乔治亚州州立大学Georgia State University)线上物理网页:力矩的右手定則, [2007-09-08], (原始内容存档于2007-08-19)
  3. ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], (原始内容存档于2007-05-19)
  4. ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], (原始内容存档于2005-03-16)
  5. ^ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4.

外部链接


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