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函数域

代数几何中,一个整概形 函数域 上的有理函数组成;对于一般的概形,相应的对象是有理函数层双有理几何研究的便是由 所决定的几何性质。

整概形的情形

定义

是仿射整概形, 为开集,则定义 分式域。此时 的分式域的常数层。

是整概形,而非仿射概形,则任何非空仿射开集都稠密。对任何开集 ,可以一致地定义 ,其中 是任一非空仿射开集;这仍然是对应到一个域的常数层,该域称之为 函数域。另一种等价定义是 在一般点的茎。

函数域与维度

为不可约 -代数簇,则 的域扩张,有时也写作 。此扩张的超越次数等于 ,此命题可以化约到仿射簇的情形,再以诺特正规化引理证明。

例子

  • 的函数域是

以下设

  • 单点 的函数域是 本身。
  • 仿射直线 与射影直线 的函数域都是 ,其中 上的超越元。
  • 考虑平面曲线 ,其函数域是 ,其中 上满足 的超越元;一般代数曲线的函数域可以依此类推。当 有限域时,-代数曲线的函数域与数域之间有深刻的类比。

一般概形的情形

不是整概形时, 在开集上的截面可能有零因子,此时分式域并不存在(详见 Kleiman 的文章)。正解如下:

对任一开集 ,令 中的非零因子集,这是一个积性集。命 (即 全分式环)。 构成 上的预层。令 为其层化,此即 有理函数层,它是 -代数构成的层。

局部上可以分解成有限个整概形 (这对局部诺特概形皆成立),则对任何开集

此时 上的拟凝聚层

与亚纯函数域的关系

在复代数几何中,基本的对象是不可约复解析簇,其上能局部地开展复分析,由此可以定义复解析簇上的亚纯函数亚纯函数域是该簇上的亚纯函数之集合。在不可约 -代数簇上,有理函数必为亚纯函数,反之则不然(考虑 );若加上紧致条件,则可证明此时亚纯函数域确等于有理函数域。

文献

  • Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 (法语).
  • Kleiman, S., "Misconceptions about KX", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206

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