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凹凸性 (几何)

几何学中,一个几何图形可分为的。例如多边形多面体。其中,凸的多边形称为凸多边形、凹的多边形则可称为凹多边形非凸多边形多面体多胞体亦然。然而在三维或更高维度的空间中,不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形,亦可能是星形几何图形,因此在三维或更高维度的空间中较常分为非凸

凸几何图形

凸几何图形是指内部为凸集几何图形[1],二维空间中的凸几何图形称为凸多边形三维空间则称凸多面体。若一多胞形的内部为凸集,则称凸多胞形

二维空间中的凸几何图形称为凸多边形,简单多边形的下列性质与其凸性等价:

凸几何图形的凸包与其边界相同。

凹几何图形

凹几何图形是指内部不是凸集的几何图形,在二维空间中,不是凸集的简单多边形,称为凹多边形(Concave polygon)[2]凹角[3]

凹多边形至少存在一个内角大于180度。

在三维空间中,不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形,亦可能是星形多面体,因此在三维空间中较常分为凸与非凸。

严格凸与非严格凸

非严格凸的正三角锥反角柱,其由一个正三角锥和一个三角反角柱组成,上方的三角锥侧面与三角反角柱侧面共面,而非严格小于180度。

如果一个简单多边形的每个内角严格小于180度,是严格凸的;如果每个非相邻顶点间的线段除端点外严格位于多边形的内部,也是严格凸的。

所有非退化三角形都是严格凸的。

星形几何图形

星形几何图形是非凸几何图形的一个特例,其并未有一个明确的定义。在二维空间中,称为星形多边形,数学家Branko Grünbaum指出了两种由克普勒提出的定义:一种是具有自相交棱的正星形多边形,且自相交的棱不产生新的顶点,另一种是边可递的简单凹多边形[4]

参见

参考文献

  1. ^ Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2009-10-18]. (原始内容存档于2017-10-17).
  2. ^ McConnell, Jeffrey J., Computer Graphics: Theory Into Practice: 130, 2006, ISBN 0763722502.
  3. ^ Mason, J. I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette, 1935, 30 (291): 237–238 [2009-10-18], (原始内容存档于2016-03-25).
  4. ^ Grünbaum & Shephard 1987,section 2.5

外部链接


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