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全等三角形

全等三角形指两个全等三角形,它们的三条及三个都应对等。全等三角形几何全等之一。根据全等转换,两个全等三角形可以平移、旋转、把轴对称,或重叠等。

全等的数学符号为:

当使用该符号时,需保证符号两边的角、边一一对应。

定义

当两个三角形的对应,完全相等,便是全等三角形。

性质

三角形ABC与三角形DEF全等。

全等三角形有以下性质:

  • 它们的对应相等。
  • 它们的对应相等。

三角形ABC与三角形DEF是全等时(如右图),关系公式为:

下列三对边长为“对应边”:

下列三对角为“对应角”:


同时,所有对应边长及角度均相等:

用途

因为多边形可由多个三角形组成,所以利用此方法,亦可验证其它全等的多边形

判定

全等三角形的判定。

下列五种方法均可验证全等三角形:

  • SSS(Side-Side-Side,边、边、边;三边):三边长度相等。
  • SAS(Side-Angle-Side,边、角、边;两边一夹角):两边,且夹角相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle,角、边、角;两角一夹边):两角,且夹边相等。
  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、边;两角一对边):两角,且非夹边相等。
  • RHS(Right angle-Hypotenuse-Side,直角、斜边、边,又称HL(斜边、直角边);斜股性质):在一对直角三角形中,斜边及另一条直角边相等。

下列两种方法不能验证为全等三角形:

  • AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角):三角相等。不过它是证明相似三角形的一个条件。
  • SSA(Side-Side-Angle,边、边、角):其中一角相等,且非夹角的两边相等。但当该角是直角钝角时可验证全等三角形,RHS便是该角是直角时的情形,其实没有这个

以上的各方法也可通过三角函数的相关定理证明。这相当于解三角形,即三条边三个角一共六个量、固定其中三个而判断剩下三个量是否有唯一解。

SSS

这两个三角形可以SSS来验证全等。

如右图

原因
边(一) 共用边
边(二) 已知
边(三) 已知

此时三边已知,三个角可分别由余弦定理计算,由于 在 0°到 180°之间是单调的所以可保证解出唯一值。

SAS

这两个三角形可以用SAS验证全等。

如右图

原因
边(一) 共用边
已知
边(二) 已知

此时两边夹一角已知,首先用余弦定理计算第三边,接下来与 sss 的情况相同。

ASA

这两个三角形可以用ASA来验证全等。

如右图

原因
角(一) 共用角
已知
角(二) 已知

此时两角夹一边已知,通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。

RHS

这两个三角形可以RHS来验证全等。

为直角三角形中专用的三角型全等性质 ,即为直角三角形中的SSA ,也称为斜股性质 ,如右图

原因
直角 已知
斜边 已知
已知

勾股定理或是直接连两边的顶端解出剩下一边,即变成 SSS或SAS。

不能验证全等三角形的条件

AAA

AAA不能验证三角形全等。

AAA(角、角、角),指两个三角形的任何三个角都对应地相同。但这不能判定全等三角形,但AAA能判定相似三角形。在几何学上,当两条线叠在一起时,便会形一个和一个。而且,若该线无限地廷长,或无限地放大,该角度都不会改变。同理,在左图中,该两个三角形相似三角形,这两个三角形的关系是放大缩小,因此角度不会改变。

这样,便能得知若边无限地根据比例加长,角度都保持不变。因此,AAA并不能判定全等三角形

从正弦定理的角度看, 这个比例的比值可以任意缩放,因此无法唯一确定三边长度。

SSA

SSA不能验证三角形全等。

SSA(边、边、角),也称为ASS ,指两个三角形的任一角及另外两个没有夹着该角的边相等。但这不能判定全等三角形。

在右图中,分别有三角形ABC及三角形DEF,并提供了以下资讯:

那即是SSA。假如在右图绘画一个圆形,中心点为点E,半径为。透过这个圆形便会发现,没有改变下,会出现另一个与一样长度的直线(即图中的)。这样便能证明SSA并不能验证全等三角形,(除非已知。当是直角三角形时应称为RHS)。

虽然如此,当≥ 90°时,。又,故可验证全等三角形。

再次使用正弦定理, 其中已知 ,可解出 ,但 在 0°到 180°上先升后降导致 有两解,即 可能是钝角或锐角(或退化为只有一解是直角的特殊情况,此处略去),分别对应图中的 。然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时,可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定 ,此时做减法得出 后即可用余弦定理解得最后一边

参见

外部链接


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