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克莱因瓶

浸入三维空间中的克莱因瓶

数学领域中,克莱因瓶(德语:Kleinsche Flasche)是指一种无定向性的平面,比如二维平面,就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家费利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。

要想像克莱因瓶的结构,可先试想一个底部镂空的红酒瓶。现在延长其颈部,向外扭曲后伸进瓶子的内部,再与底部的洞相连接。

和我们平时用来喝水的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。它也不类似于气球,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(所以说它没有内外部之分)。

其名称可能源自德语中的“Kleinsche Fläche”(克莱因平面),后来被误解为“Kleinsche Flasche”(克莱因瓶)。德语最终也沿用了“克莱因瓶”这种称呼。[1]

性质

拓扑学角度上看,克莱因瓶可以定义为[0,1] × [0,1]的矩阵,边定义为(0,y) ~ (1,y),其中0 ≤ y ≤ 1;和(x,0) ~ (1-x,1),其中0 ≤ x ≤ 1。

可以用图表示为

Klein Bottle Folding 1.svg

就像莫比乌斯带一样,克莱因瓶是不可定向的。但是与之不同的是,克莱因瓶是一个闭合的曲面,也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到三维或更高维的欧几里得空间,克莱因瓶只能嵌入到于四维或更高维空间。

参数化

克莱因瓶的参数十分复杂:

还有一个较简单的


参见

参考资料

  1. ^ Bonahon, Francis. Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. 2009-08-05: 95 [2013-02-21]. ISBN 978-0-8218-4816-6. (原始内容存档于2017-04-18)., Extract of page 95页面存档备份,存于互联网档案馆

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