万维百科

伪多边形

伪多边形
超无限边形
Pseudogon example.png
伪多边形(Pseudogon)
双曲正无限边形
双曲面上的伪多边形。
类型正多边形
二维双曲镶嵌
iπ/λ
顶点iπ/λ
施莱夫利符号{iπ/λ}
{∞}
考克斯特图英语Coxeter diagramCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png
对称群[iπ/λ]
内角双曲平角
对偶自身对偶
特性非严格凸, 圆内接多边形, 等边多边形, 等角多边形, 双曲线, 发散

几何学中,伪多边形(英语:pseudogon)又称为超无限边形,是一种位于双曲平面上的无限边形,具有伪多边形群英语Coxeter_notation#Rank two groups(pseudogonal group)的对称性诺曼·约翰逊英语Norman Johnson (mathematician)将一般的发散镜射形式的无限边形称为伪多边形,其外接圆为极限圆,正伪多边形在施莱夫利符号中用{iπ/λ}表示,其中λ表示发散垂直镜射的周期距离[1],用来表示其拓扑结构具有比无限边形更多的边与顶点,换句话说,若其不为发散镜射形式则只能看做为普通的无限边形,也因此伪多边形无法在平面上存在。此外,伪多边形也可以解释为未完全具备多边形性质的多边形[2],此种情况下未必需要位于双曲面,这种伪多边形其英文也可以写为pseudo polygon[3][4]

正伪多边形

位于三阶伪多边形(iπ/λ,λ=π/9)的伪多边形与其外接圆超圆形。

正伪多边形(英语:regular pseudogon)又称双曲正无限边形,是一种具有[iπ/λ]考克斯特群的罗氏无限边形,依据其考克斯特群,其边数和顶点数将会是iπ/λ个,事实上它顶点数为正无穷大,边长为λ,其中iπ/λ用来表示超平形(ultraparallel)的镜射,虚数值使镜射变换的角度以一个双曲线的形式,而存在等式cos(π/n) = cos(πλ/(iπ)) = cosh(2λ),而λ∈{ π/n | n∈Z }。

其亦可以视为二维空间的双曲密铺,和三维双曲密铺如:正七边形镶嵌七阶三角形镶嵌等,做类比[5]。其属于非紧凑空间

正伪多边形无法在平面上存在,但可以构造在双曲面。其可以拥有外接圆内切圆,但他们必须是双曲超圆形。

扭歪伪多边形

扭歪伪多边形(英语:Skew pseudogon)是伪多边形对应的扭歪多边形,即位于非紧双曲空间的双曲扭歪无限边形。

H2 tiling 23j9-2.png
围绕着伪多边形的三角形也可以构造出等边扭歪伪多边形
外接圆为超圆形的无限边形
{3,7}的皮特里多边形 t{3,7}的皮特里多边形
Order-7 triangular tiling petrie polygon.png
正扭歪
Quasiregular skew apeirogon in truncated order-7 triangular tiling.png
半正扭歪

镶嵌与密铺

正伪多边形不能构成平面镶嵌,但可以构成双曲镶嵌,如三阶伪多边形镶嵌,其考克斯特记号计为CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png。该镶嵌可以视为伪多边形在三维空间的类比,称为伪多面体(pseudohedron)。

二个伪多边形即可完全镶嵌整个双曲平面,称为二阶伪多边形镶嵌

罗式镶嵌
半正
∞.∞ 2 4.4.∞ 3.3.3.∞
H2 tiling 22i-1.png H2 tiling 22i-4.png H2 tiling 22i-6.png H2 tiling 22i-8.png
{iπ/λ, 2}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2, iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
t{2, iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png
sr{2, iπ/λ}
CDel node h.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
半正伪多边形
对称群:[iπ/λ,iπ/λ], (*iπ/λ iπ/λ 2) [iπ/λ,iπ/λ]+, (iπ/λ iπ/λ 2)
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel ultra.pngCDel node h.png
H2 tiling 29j9j-1.png H2 tiling 29j9j-3.png H2 tiling 29j9j-2.png H2 tiling 29j9j-7.png H2 tiling 29j9j-4.png H2 tiling 29j9j-6.png H2 tiling 29j9j-7.png
{9i,9i}
超无限阶
伪多边形镶嵌
t{9i,9i}
截角超无限阶
伪多边形镶嵌
r{9i,9i}
截半超无限阶
伪多边形镶嵌
2t{9i,9i}=t{9i,9i}
截角超无限阶
伪多边形镶嵌
2r{9i,9i}={9i,9i}
超无限阶
伪多边形镶嵌
rr{9i,9i}
小斜方截半
超无限阶
伪多边形镶嵌
tr{9i,9i}
大斜方截半
超无限阶
伪多边形镶嵌
sr{9i,9i}
扭棱超无限阶
伪多边形镶嵌
[iπ/λ,3]非紧凑双曲半正镶嵌系列
对称群:[iπ/λ,3], (*∞32) [iπ/λ,3]+
(∞32)
[1+,iπ/λ,3]
(*∞33)
[iπ/λ,3+]
(3*∞)
考克斯特记号 CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
CDel node h0.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel branchu 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel branchu 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel branchu 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png or CDel branchu 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel branchu 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png or CDel branchu 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
= CDel branchu hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png
图像 H2 tiling 23j9-1.png H2 tiling 23j9-3.png H2 tiling 23j9-2.png H2 tiling 23j9-6.png H2 tiling 23j9-4.png H2 tiling 23j9-5.png H2 tiling 23j9-7.png
顶点图 ∞.∞.∞ 3.∞.∞ 3.∞.3.∞ ∞.6.6 3 3.4.∞.4 4.6.∞ 3.3.3.3.∞ 3.∞.3.∞.3.∞
类比 {∞,3} t{∞,3} r{∞,3} t{3,∞} {3,∞} rr{∞,3} tr{∞,3} sr{∞,3} h{∞,3} h2{∞,3} s{3,∞}
半正对偶
考克斯特记号 CDel node f1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel ultra.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel ultra.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel ultra.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
图像 H2 tiling 23j9-4.png Order-9i triakis triang til.png Order-9i-3 qreg rhombic til.png Order3 9i-kis 9i-pseudogonal til.png H2 tiling 23j9-1.png Deltoidal tri-9i-pseudogonal til.png Order-3 9i-kis 9i-pseudogonal tiling.png
顶点布局
类比
V∞3 V3.∞.∞ V(3.∞)2 V6.6.∞ V3 V4.3.4.∞ V4.6.∞ V3.3.3.3.∞ V(3.∞)3 V3.3.3.3.3.∞

高维类比

三阶七边形镶嵌蜂巢体的庞加莱模型,每个洞都是一个正七边形镶嵌[6]

伪多面体(pseudohedron)是伪多边形在三维空间的类比,即在三维非紧双曲空间中的无限面体,又称为超无限面体。例如三阶七边形镶嵌蜂巢体中的正七边形镶嵌,由于要使每个顶点都是3个正七边形镶嵌的公共顶点使得图形被变换到非紧双曲空间中,即几何中心跑到庞加莱模型外,其外接球为三维双曲极限球。

伪多胞体(pseudotope)则为非紧双曲镶嵌在四维或更高维度类比,例如四阶一百二十胞体堆砌英语Order-4 120-cell honeycomb[7]

但严格来说,伪多胞形(pseudotope)只会在二维双曲空间讨论,由于二维的考克斯特群表达到无穷之后仍为平面,因此只能用双曲径社的方式以虚数表达双曲几何图形。

赫尔曼莫金记号 轨道流形英语Orbifold 考克斯特 考克斯特图英语Coxeter diagram
有限
Zn n n• [n]+ CDel node h2.pngCDel n.pngCDel node h2.png n
Dn nm *n• [n] CDel node.pngCDel n.pngCDel node.png 2n
仿射
Z ∞• [∞]+ CDel node h2.pngCDel infin.pngCDel node h2.png
Dih m *∞• [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
双曲
Z [πi/λ]+ CDel node h2.pngCDel ultra.pngCDel node h2.png
Dih [πi/λ] CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png

参见

参考文献

  1. ^ Norman Johnson, Geometries and symmetries, (2015), Chapter 11. Finite symmetry groups, Section 11.2 The polygonal groups. p.141
  2. ^ HSKR, K. L. Dr. cjl. 1989. PhD Thesis. SIMON FRASER UNIVERSITY.
  3. ^ 台北盆地聚落发展之空间分析 国立台湾大学地理环境资源学系暨研究所 2005-10-31
  4. ^ 中学地理科常用英汉辞汇页面存档备份,存于互联网档案馆香港教育局
  5. ^ Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p.296, Table II: Regular honeycombs
  6. ^ John Baez, Visual insights: {7,3,3} Honeycomb页面存档备份,存于互联网档案馆) (2014/08/01)
  7. ^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, p212-213)

本页面最后更新于2021-05-24 12:03,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器