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仿射空间

仿射空间 (英文: Affine space),又称线性流形,是数学中的几何结构,这种结构是欧式空间仿射特性的推广。在仿射空间中,点与点之间做差可以得到向量,点与向量做加法将得到另一个点,但是点与点之间不可以做加法。

仿射空间中没有特定的原点,因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量,或称平移向量。如果是仿射空间,,那么从的位移向量为

所有向量空间都可看作仿射空间。若是向量空间,是向量子空间,, 则是仿射空间。这里的也称为平移向量。若向量空间的维度是,那么的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解;而齐次方程的解永远是线性子空间,也就是说齐次方程的解永远包含零解。维度为的仿射空间也叫做仿射超平面。

非正式描述

下面的非正式描述可能比正式的定义更容易理解。仿射空间像是没有原点的向量空间,其中向量只有方向和大小。假设有甲乙两人,其中甲知道一个空间中真正的原点,但是乙认为另一个点才是原点。现在求两个向量的和。乙画出的箭头,然后用平行四边形找到他认为的向量。但是甲认为乙画出的是向量。同样的,甲和乙可以计算向量线性组合,通常情况下他们会得到不同的结果。然而,请注意:如果线性组合系数的和为1,那么甲和乙将得到同样的结果!

如果乙从他的原点方向行走, 则从甲的角度来看,乙的行程为.

仿射空间就是这样产生的:定义仿射组合为系数和为1的线性组合;甲知道空间的“线性结构”,但是甲和乙都知道空间的“仿射结构”,也就是空间中所有仿射组合的值。 那么对于所有满足的系数,即使甲乙从不同的原点开始,他们将以同样的线性组合描述同样的点。

定义

集合 仿射空间,是指其满足如下性质:

  1. 存在一个与之相伴的欧几里得空间
  2. 存在一个映射 ,且这个映射有如下性质:
    1. 右幺性:;
    2. 结合律: 成立 ;
    3. 正则性:给定 中的元素, 双射.

从定义中不难得出集合 还具有如下性质:

  1. 是一个双射;
  2. 减法: 使得, 记这个 .

另一种等价的定义可以表述为:集合 仿射空间, 是指存在某个向量空间, 上的作为加法群群作用是自由且可迁的.

参阅

参考文献


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