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代数簇

代数簇,亦作代数多样体,是代数几何学多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是经典(某种程度上也是现代)代数几何的中心研究对象。

术语(variety)取自拉丁语族中词源(cognate of word)的概念,有基于“同源”而“变形”之意。

历史上,代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系,它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定,而根集合是内在的几何对象。在此基础上,希尔伯特零点定理提供了多项式环的理想和仿射空间子集的基本对应。利用零点定理和相关结果,我们能够用代数术语捕捉簇的几何概念,也能够用几何来承载环论中的问题。

形式定义

仿射簇

k代数封闭域并令k 上的 n仿射空间 借着代值可以视之为上的-值函数。对任何子集,定义的零点为里使中所有元素取零值的点:

对于所有

若存在使得满足,则称之仿射代数集。一个非空代数集被称作不可约,当且仅当它无法被写成两个真代数子集的联集。不可约仿射代数集称作仿射代数簇

借由将所有代数集定义为闭集,仿射簇可被赋与一个自然的拓扑结构,称之扎里斯基拓扑

给定,令为所有在上取零值的函数所成的理想

对任意仿射代数集,其座标环是多项式环对上述理想的商。

仿射簇之间的态射定义为多项式映射的限制。

射影簇

上的 n 维射影空间。虽然中的齐次多项式无法在齐次座标上取值(因为齐次坐标系实际上是一个等价类),其零点却可明确地定义。对任意齐次多项式集合 ,定义其零点为

若存在使得,则称之射影代数集。不可约性的定义同前。不可约射影代数集称作射影代数簇

借着将所有代数集定为闭集,射影簇也赋有扎里斯基拓扑。

给定,令为所有在上取零的齐次多项式。对任意射影代数集,其齐次座标环定义为多项式环对此理想的商,这是一个分次环。

射影代数集可由一组有限的仿射开集覆盖。射影簇之间的映射被称作态射,当且仅当存在仿射开覆盖,使得每个都是多项式映射。

拟仿射簇与拟射影簇

一个仿射簇的开子集被称作拟仿射簇(例如,可证明它既非射影簇亦非仿射簇);同理,一个射影簇的开子集被称作拟射影簇。其间态射同样定义作局部上的多项式映射。

拟射影簇同时涵括了仿射簇、拟仿射簇与射影簇,它也是经典代数几何学的基本范畴。一个拟射影簇容许一组拓扑基,使得其中每个开集都是仿射簇;在此意义下,我们说一个拟射影簇可由仿射簇黏合而来。

基本结果

  • 仿射代数集是簇的充要条件是素理想;等价的说法是:是簇当且仅当其座标环是整环
  • 每个非空仿射代数集都可以表成代数簇的联集,使得此分解中的代数簇两两不相包含,且此表法唯一。
  • 表簇的座标环,维度的分式环对超越次数

讨论与推广

上述定义与事实让我们可以探讨经典代数几何。如欲更进一步(例如探讨非代数封闭域上的代数簇),则需要一些根本的改变。现行的代数簇概念较上述定义复杂,且适用于任何域:一个抽象代数簇上的有限型分离整概形。

概形可表为有限个仿射概形沿着开集的黏合,而上的有限型仿射整概形不外就是仿射簇。因此我们可以沿着开集黏合有限多个上的仿射簇,从而得到抽象代数簇,且无须担心它是否可嵌入射影空间。这也引起一个问题:我们可能会得到病态的对象,例如将沿着黏合,遂得到带有两个原点的仿射直线;是故要求分离性以排除之。

某些现代学者还去掉定义中的整性,只要求每个仿射开集的座标环有平凡的幂零根

上述的簇被称作塞尔意义下的簇,因为让-皮埃尔·塞尔的奠基之作Faisceaux algébriques cohérents(代数凝聚层)探讨了这类簇。尽管现在已有更抽象的对象作辅助,它们仍然是代数几何的踏脚石。

另一条推广的进路是容许可约代数集,所以其座标环不一定是整域;这在技术上只是一小步,更重要的推广是容许结构层中有幂零元素;幂零元无法被看作座标函数,也不影响拓扑结构。就范畴论观点,为了构造有限的射影极限(或构造纤维积),就必须容许幂零元。几何上而言,一个好的映射之纤维仍可能有“无穷小”结构。亚历山大·格罗滕迪克的概形论能融贯上述各种推广,但一般的“概形”仍不如“簇”来得富有几何直观。

此外尚有称作堆与代数空间的深入推广。

参见

文献

  • Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-90244-9.
  • David Cox; John Little, Don O'Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms second edition. Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-94680-1.
  • David Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1999. ISBN 978-0-387-94269-8.
  • David Dummit; Richard Foote. Abstract Algebra third edition. Wiley. 2003. ISBN 978-0-471-43334-7.

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