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五角化二十四面体

五角化二十四面体
五角化二十四面体
(按这里观看旋转模型)
类别 卡塔兰立体
24
60
顶点 38
欧拉特征数 F=24, E=60, V=38 (χ=2)
面的种类 V3.3.3.3.4DU12 facets.png
不等边五边形
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
对称群 O, ½BC3, [4,3]+, 432
对偶 扭棱立方体
旋转对称群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups O, [4,3]+, (432)
二面角 136° 18' 33'
特性 、面可递
立体图
Snub hexahedron.png
扭棱立方体
(对偶多面体)
Pentagonalicositetrahedron net.png
(展开图)

几何学中,五角化二十四面体是一种卡塔兰多面体[1],由24个全等的不等边五边形组成,其对偶多面体扭棱立方体[2],共有24个、60个和38个顶点[3]

矿物学中,这种形状又称为五角三八面体螺旋二十四面体(gyroid)[4][5][6]五角偏方三八面体偏菱五角二十四面体[7],部分的矿石可以结晶成这种形状[8],例如赤铜矿——化学成分为氧化亚铜(Cu2O)的氧化物矿物可以结晶成五角化二十四面体[9]

性质

五角化二十四面体是一个手性多面体英语Chirality (mathematics)[10],也就是说,该多面体镜射之后会跟原本的型形状不同,无法借由旋转半周再回到原本的形状[11][12][13]。这两种形式互为镜像(或“对映体”),又称为手性镜像,且其顶点数皆相同,共有24个、60个、38个顶点[3]

Pentagonalicositetrahedronccw.gif
五角化二十四面体的旋转透视图
Pentagonalicositetrahedroncw.gif
五角化二十四面体的另一个手性镜像的旋转透视图

五角化二十四面体的对偶多面体扭棱立方体,换句话说即这个多面体的顶点可以对应到扭棱立方体每个面的几何中心、扭棱立方体的每个顶点可以对应到五角化二十四面体的几何中心[14]

Chiral snub cubes and duals.png

面的组成

构成五角化二十四面体的五边形。

五角化二十四面体由24个全等的具有镜像对称性之不等边五边形组成[13][12]。这种不等边五边形有两种边长,有三个边为短边(下图中以b表示)、两个边为长边(下图中以a表示)。长边的边长为短边的一半再加上短边的三波那契常数英语tribonacci constant[15],即:

短边长边

其中,三波那契常数英语tribonacci constant,即:

OEIS中的数列A058265

这个数为的实根[16]

Pentagonikositetraeder Fünfeck.png

这个不等边五边形两个长边相邻,其夹角为二减去三波那契常数的反余弦值(约为80.75度);其余4个角皆为二分之一减去一半的三波那契常数之反余弦值(约为114.81度)[15]

若对应的对偶多面体——扭棱立方体边长为单位长,则相应的五角化二十四面体面的短边边长为[13][12]

相应的五角化二十四面体面的长边边长为[13][12]

体积与表面积

若对应的对偶多面体——扭棱立方体边长为单位长,则相应的五角化二十四面体的体积与表面积为[10]

而根据相应的边长关系[13][12],可以得到以边长表示的体积与表面积:

正交投影

五角化二十四面体有三种具有特殊对称性的正交投影,分别是以为三的顶点为中心、以为四的顶点为中心以及以与侧边中点为中心的正交投影。前两者对称性对分别应于A2和B2的考克斯特平面[17][18]

正交投影
投影位置 为三的顶点 为四的顶点 侧边中点
投影对称性 [3] [4]+ [2]
图像 Dual snub cube A2.png Dual snub cube B2.png Dual snub cube e1.png
对偶多面体 Snub cube A2.png Snub cube B2.png Snub cube e1.png

变体

五角化二十四面体有另外一种同样所有面全等的变体。这种变体具有八面体群的对称性,且具有3种不同的边长。这种变体可以透过在扭棱立方体的6个正方形与8个三角形的面上加上角锥至与邻面共面来构造[19]

Pentagonal icositetrahedron variation0.png
扭棱立方体的面上加上角锥至与邻面共面
Pentagonal icositetrahedron variation.png
五角化二十四面体变体
Pentagonal icositetrahedron variation net.png
该变体地展开图

相关多面体及镶嵌

五角化二十四面体的拓朴结构属于(432)的旋转对称性[20],其他同为(n32)旋转对称性的几何结构有:

扭棱镶嵌对称性 n32 的变种: 3.3.3.3.n
对称性
n32英语Orbifold notation
球面镶嵌英语List of spherical symmetry groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
考克斯特记号 CDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 7.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel infin.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
扭棱图 扭棱三角形二面体 扭棱正四面体 扭棱立方体 扭棱十二面体 扭棱六边形镶嵌 扭棱三阶七边形镶嵌 扭棱三阶八边形镶嵌 扭棱三阶无限边形镶嵌
顶点图 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7英语Snub triheptagonal tiling 3.3.3.3.8英语Snub trioctagonal tiling 3.3.3.3.∞英语Snub triapeirogonal tiling
扭棱对偶 Uniform tiling 432-t0.png Uniform tiling 532-t0.png Spherical pentagonal icositetrahedron.png Spherical pentagonal hexecontahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg Ord7 3 floret penta til.png Order-3-infinite floret pentagonal tiling.png
顶点布局英语Vertex configuration V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7英语Order-7-3 floret pentagonal tiling V3.3.3.3.8英语Order-8-3 floret pentagonal tiling V3.3.3.3.∞

关于的拓朴结构属于(432)的旋转对称性的五角化二十四面体[20],亦可以从(4n2)旋转对称性进行比较。这些相关几何结构包括:

扭棱镶嵌对称性 4n2 的变种: 3.3.4.3.n
对称性
4n2英语Orbifold notation
球面镶嵌英语List of spherical symmetry groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲
242 342 442 542 642 742 842 ∞42
扭棱图 Spherical square antiprism.png Spherical snub cube.png Uniform tiling 44-snub.png H2-5-4-snub.svg Uniform tiling 64-snub.png Uniform tiling 74-snub.png Uniform tiling 84-snub.png Uniform tiling i42-snub.png
顶点布局英语Vertex configuration 3.3.4.3.2 3.3.4.3.3 3.3.4.3.4 3.3.4.3.5英语Snub tetrapentagonal tiling 3.3.4.3.6英语Snub tetrahexagonal tiling 3.3.4.3.7英语Snub tetraheptagonal tiling 3.3.4.3.8英语Snub tetraoctagonal tiling 3.3.4.3.∞英语Snub tetrapeirogonal tiling
扭棱对偶 Spherical tetragonal trapezohedron.png Spherical pentagonal icositetrahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-3-4-3-4 Cairo Pentagonal.svg H2-5-4-floret.svg
顶点布局英语Vertex configuration V3.3.4.3.2 V3.3.4.3.3 V3.3.4.3.4 V3.3.4.3.5 V3.3.4.3.6 V3.3.4.3.7 V3.3.4.3.8 V3.3.4.3.∞

五角化二十四面体是立方体经过扭棱变换后的对偶多面体[10],其他也是由立方体透过康威变换得到的多面体有:

对称性英语List_of_spherical_symmetry_groups: [4,3], (*432)英语Octahedral symmetry [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)英语Tetrahedral symmetry
[3+,4]
(3*2)英语pyritohedral symmetry
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} c{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png or CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png or CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h0.png =
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Truncated rhombic dodecahedron2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.png
对偶多面体
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V4.62/63 V34.4 V33 V3.62 V35
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Tetrakis cuboctahedron.png Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg

五角化二十四面体图

五角化二十四面体图
Pentagonal icositetrahedral graph square plot.svg
分布3 (32个)
4 (6个)
顶点38
60
半径6
直径7
围长5
自同构群24
色数3
对偶图扭棱立方体图法语Graphe cuboctaédrique adouci
属性哈密顿平面图

图论的数学领域中,与五角化二十四面体相关的图为五角化二十四面体图,是五角化二十四面体之边与顶点的图英语1-skeleton,同时也是拓朴结构与五角化二十四面体等架的图论对象,由38个节点和60条边组成[21],是一个哈密顿图[22]

性质

五角化二十四面体图有60条边和38个顶点,其中为3的顶点有32个;为4的顶点有6个。这个图的直径是7,半径是6[22],其中半径代表图中所有顶点偏心率的最小值、直径代表代表图中所有顶点偏心率的最大值、偏心率为某顶点和离其最远点的距离[23]。换句话说五角化二十四面体图在不考虑循环路径下顶点间最大距离只少相距6个顶点,最长距离不超过7个顶点[22]。五角化二十四面体图的围长为5,即在这个图内最小的循环路径为5个顶点[22]

Dual snub cube A2.png
五角化二十四面体的平行投影是一种五角化二十四面体图
Pentagonal icositetrahedral graph pentagon plot.svg
以类似施莱格尔图英语schlegel diagram的方式呈现的五角化二十四面体图
Pentagonal icositetrahedral graph square plot.svg
五角化二十四面体图的另一种表示法
  • 五角化二十四面体图的特征多项式[22]

参见

参考文献

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  1. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)
  2. ^ Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR730208 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 28, Pentagonal icositetrahedron)
  3. ^ 3.0 3.1 Pentagonal Icositetrahedron. polyhedra.org. [2020-08-01]. (原始内容存档于2008-07-14).
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  5. ^ Stephen A. Nelson. Crystal Form, Zones, Crystal Habit. 2011-01-11 [2020-08-03]. (原始内容存档于2013-09-01).
  6. ^ 五角三八面體;螺旋二十四面體 gyroid. 国家教育研究院. [2020-08-01]. (原始内容存档于2020-08-24).
  7. ^ 偏菱五角二十四面體 pentagonal icositetrahedron. 国家教育研究院. [2020-08-01]. (原始内容存档于2020-08-24).
  8. ^ 中川宏. 貫入双晶模型の製作 (PDF). [2018-08-30]. (原始内容 (PDF)存档于2018-08-31).
  9. ^ Hugo Steinhaus. Mathematical Snapshots (Dover Recreational Math). Dover Publications. 2011年12月28日: pp. 207, 209. ISBN 978-0486409146.
  10. ^ 10.0 10.1 10.2 埃里克·韦斯坦因. Pentagonal Icositetrahedron. MathWorld.
  11. ^ Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036.
  12. ^ 12.0 12.1 12.2 12.3 12.4 Catalan Solids: Pentagonal Icositetrahedron (dextro). dmccooey.com. [2020-08-01]. (原始内容存档于2020-08-24).
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 13.3 13.4 Catalan Solids: Pentagonal Icositetrahedron (laevo). dmccooey.com. [2020-08-01]. (原始内容存档于2020-08-24).
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  15. ^ 15.0 15.1 Pentagonal icositetrahedron. fillygons.ch. [2020-08-01]. (原始内容存档于2020-08-24).
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  17. ^ 约翰·史坦布里奇英语John Stembridge. Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. [2020-08-01]. (原始内容存档于2018-02-10) (英语).
  18. ^ 约翰·史坦布里奇英语John Stembridge. More Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. [2020-08-01]. (原始内容存档于2017-08-21) (英语).
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  20. ^ 20.0 20.1 Livio Zefiro, Maria Rosa Ardigo. What Became of the Controversial Fourteenth Archimedean Solid, the Pseudo Rhomb-Cuboctahedron?. Dip.Te.Ris, Universita' di Genova, Italy. [2020-08-24]. (原始内容存档于2020-07-31).
  21. ^ Hao, Jianqiang and Gong, Yunzhan and Sun, Jianzhi and Tan, Li. Use the K-Neighborhood Subgraphs to Compute Canonical Labelings of Graphs. Mathematics (Multidisciplinary Digital Publishing Institute). 2019, 7 (8): 690.
  22. ^ 22.0 22.1 22.2 22.3 22.4 埃里克·韦斯坦因. Pentagonal Icositetrahedral Graph. MathWorld.
  23. ^ Chartrand G., Johns G., Oellermann O.R. On Peripheral Vertices in Graphs. Bodendiek R., Henn R. (编). Topics in Combinatorics and Graph Theory. Physica-Verlag HD. 1990.

外部链接


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