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二体问题本文重定向自 二體問題

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两个质量相等的粒子,依循各自椭圆轨道,绕着质心公转。
两个质量稍微不同的粒子的运动,依循各自椭圆轨道,绕着质心公转。这种轨道的尺寸与形状类似冥王星-冥卫一系统。

经典力学里,二体问题(英语:two-body problem)研究两个粒子因彼此互相作用而产生的运动。这是个很重要的天文问题,常见的应用有卫星绕着行星公转、行星绕着恒星公转、双星系统双行星、一个经典电子绕着原子核运动等等。

二体问题可以表述为两个独立的单体问题,其中一个是平凡的单体问题,另外一个单体问题研究一个粒子因外力作用而呈现的运动。由于很多单体问题有精确解(exact solution),即不需借助近似方法就可得到问题的解答;其对应的二体问题连带地也可解析。显然不同地,除了特别案例以外,三体问题(或者更复杂的多体问题)并没有精确解。

约化为两个独立的单体问题

在一个物理系统里,假设两个粒子的质量分别为,在时间的初始位置分别为,初始速度分别为,计算这两个粒子的轨迹函数的问题,称为二体问题。

根据牛顿第二定律

(1)
(2)

其中,表示粒子B施加于粒子A的作用力

二体问题的雅可比坐标(Jacobi coordinates)为质心坐标和相对坐标;其中, [1]

将方程(1)与方程(2)相加,可以得到一个方程,专门描述两个粒子的质心运动。将方程(1)与方程(2)的相减,则可得到描述两个粒子相对的位移矢量与时间之间的关系。将这两个独立的单体问题的解答结合起来,就可以求得轨迹函数

质心运动(第一个单体问题)

质心的位置由两个粒子的位置和质量给出:

其中,是系统的总质量。

质心的加速度为:

由于没有外力作用,将方程(1)与(2)相加,根据牛顿第三定律,可以得到

因此,质心的加速度等于零,质心的速度为常数:

这物理系统的动量守恒

从两个粒子的初始位置和初始速度,就可以决定质心在任意时间的位置:

位移矢量运动(第二个单体问题)

将方程(1)、(2)分别除以,然后相减,可以得到

其中,是个从粒子2位置指到粒子1位置的位移矢量。

应用牛顿第三定律。所以,

两个粒子之间的作用力应该只是相对位置的函数,而不是绝对位置的函数;否则,无法满足物理的平移对称,物理定律会因地而易,二体之间的物理关系无法普遍地成立于全宇宙。换句话说,在宇宙中,两个粒子的绝对位置无关紧要,因为它们是宇宙中唯一的两个粒子,是互相施加于彼此的作用力的源头。诚然地,这是一个不实际的问题,可以被视为一个思想实验。为了满足这问题的要求,两个粒子之间的作用力必须只是相对位置的函数。这样,相减得到的方程写为

其中,约化质量

一旦求得函数,就可以计算出两个粒子的轨迹方程

角动量

两个粒子的总角动量

其中,是质心对于原点的角动量,是两个粒子对于质心的角动量。

回想前面质心的轨迹方程,

为了简化分析,设定质心的初始位置为。也就是说,质心的直线运动经过原点。那么,

角动量守恒与有心力

二体问题的总力矩

在物理学里,时常会遇到的万有引力静电力等等,都是有心力。假设,作用力是有心力,则同直线,总力矩等于0。根据角动量守恒定律

因此,总角动量是个常数,总角动量守恒。

请注意,并不是每一种力都是有心力。假设,两个粒子是带电粒子。由毕奥-萨伐尔定律洛伦兹力定律所算出的作用力和反作用力并不是有心力。总力矩不等于0。总角动量不守恒;这是因为还有角动量并没有被计算在内。假若,将电磁场的角动量计算在内,则角动量守恒定律仍旧成立[2]

在很多物理系统里,作用力是一种有心力,以方程表示为

其中,是径向距离,是径向单位矢量

这物理系统的运动方程

更详尽细节,请参阅条目经典有心力问题(classical central force problem)。

平面运动与角动量守恒

总角动量与点积

这两个粒子的运动轨道必定包含于垂直于的平面。假设作用力为有心力,则由于角动量守恒,这两个粒子必定运动于某特定平面,而常数矢量垂直于这平面。

参阅

参考文献

引用

  1. ^ David Betounes. Differential Equations. Springer. 2001: 58; Figure 2.15.
  2. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 7–8. ISBN 0201657023 (英语).

来源

书籍
  • Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover).

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