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二十四边形

正二十四边形
Regular polygon 24.svg
一个正二十四边形
类型正多边形
24
顶点24
对角线252
施莱夫利符号{24}
t{12}
考克斯特图英语Coxeter diagramCDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 1x.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
对称群二面体群 (D24), order 2×24
面积
内角165°
内角和3960°
对偶正二十四边形 (本身)
特性圆内接多边形等边多边形英语Equilateral polygon、等角多边形、isotoxal figure英语isotoxal figure

几何学中,二十四边形是指有24条边和24个顶点多边形[1],其内角和为3960度。二十四边形有很多种,其中对称性最高的是正二十四边形。其他的二十四边形依照其类角的性质可以分成凸二十四边形和非凸二十四边形,其中凸二十四边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸二十四边形可以在近一步分成凹二十四边形和星形二十四边形,其中星形二十四边形表示边自我相交的二十四边形。

正二十四边形

正二十四边形是指所有边等长、所有角等角的二十四边形,由24条相同长度的边和24个相同大小的角构成,是一种正多边形。正二十四边形的内角是弧度,换算成角度是165。在施莱夫利符号中用来表示。由于正二十四边形可看作是截去所有顶点正十二边形,即截角的正十二边形,因此施莱夫利符号中也可以计为 。而正十二边形又可看作是截去所有顶点的正六边形,即截角的正六边形,因此正二十四边形在施莱夫利符号中也可以计为 。而因为正六边形亦可以将正三角形透过截角变换来构造,即切去正三角形的三个顶点,因此正二十四边形可以视为正三角形经过3次的截角变换的结果,在施莱夫利符号中亦可以使用 ttt{3} 表示。

正二十四边形的内角为165度,因此其中心角为15度,其对应的直角三角形角度为7.5度,其余切值为[2]

由此可得到正二十四边形的面积为:

正二十四边形与正六边形、正四十八边形和正九十六边形出现在阿基米德多边形的圆周率逼近[3]刘徽割圆术[4]

构造

正二十四边形的边数24可因数分解,其中,3是费马数,由于其为费马数和2的次方的积,因此正二十四边形是一个可作图多边形[5]。正二十四边形是一种截角十二边形,可将正十二边形边二等分并依外接圆来构造。

对称性

二十四边形的对称性。蓝色对称轴经由顶点绘制,紫色对称轴经由边缘绘制。旋转对称阶数可由中心确定。

正二十四边形具有Dih24二面体群对称性,且其对称阶数为四十八阶。正二十四边形的二面体群对称群共有7个子群,这些子群可以分成两组,其中一组有Dih12二面体群、Dih6二面体群、Dih3二面体群另外一组的四个子群分别为Dih8二面体群、Dih4二面体群、Dih2和Dih1二面体群。此外,其在旋转对称性中,其循环群更多达八个,他们同样可以分成两组,其中一组有Z24、Z12、Z6、Z3,另外一组的四个循环群分别为Z8、Z4、Z2和Z1

这16种对称性可以在二十四边形上的22个不同的对称性中看到。康威将其依照群的阶数以不同的字母做标记[6]。对称性最高,即具有所有48条对角线的是r48,例如正二十四边形,没有对称性也就是没有任何对称轴的是a1,例如不规则二十四边形。 二面体群的对称性是取决于他们是否通过顶点(d、对角线)或边(p边上的内切圆直径)划分,然后i表示边或顶点在镜射线的路径上。中间一列的循环群对称性以g和其旋转对称的阶数表示。

每个子组对称性允许一个或多个自由不规则形式。只有g24子群没有自由度,但可以看作是有向边

相关多边形

部分图形与二十四边形相关,例如二十四角星,同样由二十四条边组成,但是具有边自我相交的性质。

二十四边形顶角组合

3.8.24 vertex.png

平面上,一个顶点周围可以有1个正二十四边形、1个正三角形和1个正八边形。

但是这种顶角组合无法重复排列形成镶嵌图

二十四角星

二十四角星是一种具有24个边的星形多边形。其中有3个正图形,其在施莱夫利符号中表示为:{24/5}、{24/7}和{24/11}。另外有7种具有相同的顶点布局,在施莱夫利符号中表示为:2{12}、3{8}、4{6}、6{4}、8{3}、3{8/3}、和2{12/5}。

正二十四角星
形式 凸多边形 复合多边形 星形多边形 复合多边形
图像 Regular polygon 24.svg
{24/1}={24}
Regular star figure 2(12,1).svg
{24/2}=2{12}
Regular star figure 3(8,1).svg
{24/3}=3{8}
Regular star figure 4(6,1).svg
{24/4}=4{6}
Regular star polygon 24-5.svg
{24/5}
Regular star figure 6(4,1).svg
{24/6}=6{4}
内角 165° 150° 135° 120° 105° 90°
形式 星形多边形 复合多边形 星形多边形 复合多边形
图像 Regular star polygon 24-7.svg
{24/7}
Regular star figure 8(3,1).svg
{24/8}=8{3}
Regular star figure 3(8,3).svg
{24/9}=3{8/3}
Regular star figure 2(12,5).svg
{24/10}=2{12/5}
Regular star polygon 24-11.svg
{24/11}
Regular star figure 12(2,1).svg
{24/12}=12{2}
内角 75° 60° 45° 30° 15°

此外亦有一些等角但不等边的二十四角星,可借由正十二边形{12}或十二角星{12/5}经过反截角或更深的截角来构造。这也产生了两个半截角的图形,其在施莱夫利符号中表示为:t{12/11}={24/11}和t{12/7}={24/7}[7]

半正二十四角星
拟正 等角 拟正
Regular polygon truncation 12 1.svg
t{12}={24}
Regular polygon truncation 12 2.svg Regular polygon truncation 12 3.svg Regular polygon truncation 12 4.svg Regular polygon truncation 12 5.svg Regular polygon truncation 12 6.svg Regular polygon truncation 12 7.svg
t{12/11}={24/11}
Regular star truncation 12-5 1.svg
t{12/5}={24/5}
Regular star truncation 12-5 2.svg Regular star truncation 12-5 3.svg Regular star truncation 12-5 4.svg Regular star truncation 12-5 5.svg Regular star truncation 12-5 6.svg Regular star truncation 12-5 7.svg
t{12/7}={24/7}

K24完全图经常会被以正二十四边形的图形绘制来描述其36条连接边。这个图与二十三维正二十四胞体正投影图英语orthographic projection同为24个顶点和276条边。

23-simplex graph.svg
二十三维正二十四胞体

另外K24完全图也显示了二十四边形的252条对角线。

扭歪二十四边形

扭歪二十四边形,又称不共面二十四边形,是指顶点并非完全共面的二十四边形。

三个正扭歪二十四边形
{12}#{ } {12/5}#{ } {12/7}#{ }
12-antiprism skew 24-gon.png 12-5 antiprism.png 12-7 antiprism.png

参见

参考文献

  1. ^ 埃里克·韦斯坦因. Icositetragon. MathWorld.
  2. ^ 埃里克·韦斯坦因. Trigonometry Angles Pi/24. MathWorld.
  3. ^ Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics 6th, Saunders College Publishing: 131, 1992, ISBN 0-03-029558-0
  4. ^ 九章算术》卷第一 - 大哉言数
  5. ^ 埃里克·韦斯坦因. Constructible Polygon. MathWorld.
  6. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
  7. ^ The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, 布兰科·格林鲍姆英语Branko Grünbaum

外部链接


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