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三角化八面体

三角化八面体
三角化八面体
(点选检视旋转模型)
类别 卡塔兰立体
24
36
顶点 14
欧拉特征数 F=24, E=36, V=14 (χ=2)
面的布局英语Face configuration V3.8.8
DU09 facets.png

等腰三角形
顶点布局英语Vertex_configuration 8{3}+6{8}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
施莱夫利符号 dt{4,3}
康威表示法 kO
dtC
对称群 Oh英语Octahedral symmetry, B3, [4,3], (*432)
对偶 截角立方体
旋转对称群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups O, [4,3]+, (432)
二面角 147°21′00″
arccos(−3 + 82/17)
特性 凸、面可递英语face-transitive
立体图
Truncated hexahedron.png
截角立方体
(对偶多面体)
Triakisoctahedron net.png
(展开图)
三角化八面体的旋转透视图。

几何学中,三角化八面体又称三角三八面体[1][2] 是一种卡塔兰立体,其对偶多面体截角立方体[3][4],可以视为在正八面体每个面上加入三角锥的结果[5] ,但由于有另一种多面体也是由正八面体每个面上加入三角锥的结果,为大三角化八面体,差别在于大三角化八面体是向内加入角锥[6],而此多面体向外加入角锥,为了区别两者差异,因此有时也会称此多面体为小三角化八面体[4]

矿物学中,这种形状又称为三八面体[2](英语:trisoctahedron[7][8][4]),部分的矿石可以结晶成这种形状[9],例如萤石[10]

性质

三角化八面体是一个卡塔兰立体,为阿基米德立体——截角立方体的对偶多面体[4],因此具有面可递的性质。

三角化八面体是一种二十四面体[4],由24个面、36条边和14个顶点组成[11],其中24个面为全等等腰三角形,顶点可分为2种,一种为8个等腰三角形的公共顶点,另一种为3个等腰三角形的公共顶点。

三角化八面体可以视为将正八面体各个面从中心切割成3个等腰三角形所形成的多面体[12]

三角化八面体菱形正方形倾斜四十五度)四边各加一个等腰三角形拼成的正八边形立体几何中的推广。

体积与表面积

一个最短边长为1三角化八面体,它的表面积体积[4]

面的组成

三角化八面体由24个全等等腰三角形组成。

DU09 facets.png

组成三角化八面体的等腰三角形的2个底角为arccos约为31.4°[13],由三角形内角关系可知顶角约为117.2°[14][13],边长比为1:1:[15][13]

顶点坐标

若一个三角化八面体最短边长为2且几何中心位于原点,则其顶点坐标为[16]

正交投影

三角化八面体的三维骨架模型。

三角化八面体有3个特殊的正交投影,分别为于棱上投影、于8个等腰三角形的公共顶点上投影和于3个等腰三角形的公共顶点上投影。

正交投影
投影
对称性
[2] [4] [6]
三角化
八面体
Dual truncated cube t01 e88.png Dual truncated cube t01 B2.png Dual truncated cube t01.png
截角
立方体
Cube t01 e88.png 3-cube t01 B2.svg 3-cube t01.svg

球面镶嵌

三角化八面体也可以表示为球面镶嵌,也可以透过施莱格尔投影英语Schlegel diagram,于平面上呈现。而其施莱格尔投影的结果在图论中是一种阿基米德对偶图[17],称为小三角化八面体图[18]

Spherical triakis octahedron.png Small Triakis Octahedral Graph.svg
平行投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram

使用

三角化八面体外型的骰子。

三角化八面体出现在部分的艺术创作中,例如莫里兹·柯尼利斯·艾雪的艺术创作[19]。部分小说也有使用三角化八面体进行创作,如休伊·库克英语Hugh Cook的系列小说《黑暗时代的编年史英语Chronicles_of_an_Age_of_Darkness》中的《希望之石与奇迹工人英语Chronicles of an Age of Darkness#The Wishstone and the Wonderworkers》。除了艺术创作外,常见文化也有关于三角化八面体的使用,例如部分的魔术方块骰子之外型。

相关多面体与镶嵌

三角化八面体可以经由八面体透过三角化变换构造,即将正八面体每个面贴上三角锥来获得。其他也是由正八面体透过康威变换得到的多面体有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

三角化八面体是由等腰三角形组成,且对偶多面体由正八边形正三角形交错组成。同样由等腰三角形组成,且对偶多面体由正多边形与正三角形交错组成的多面体或镶嵌图包括:

*n32变异对称性的截角镶嵌英语Template:Truncated figure1 table: 3.2n.2n
对称性
*n32
[n,3]
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 非紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
截角镶嵌 Spherical triangular prism.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Uniform tiling 432-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Uniform tiling 63-t01.png H2 tiling 237-3.png H2 tiling 238-3.png H2 tiling 23i-3.png
顶点英语Vertex configuration 3.4.4 3.6.6 3.8.8 3.10.10 3.12.12 3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling 3.16.16英语Truncated octagonal tiling 3.∞.∞英语Truncated order-3 apeirogonal tiling
三角化
镶嵌
Spherical trigonal bipyramid.png Spherical triakis tetrahedron.png Spherical triakis octahedron.png Spherical triakis icosahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Ord7 triakis triang til.png Ord8 triakis triang til.png Ord-infin triakis triang til.png
顶点英语Vertex configuration V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling#Dual_tiling V3.16.16英语Truncated_octagonal_tiling#Dual_tiling V3.∞.∞英语Truncated_order-3_apeirogonal_tiling#Dual_tiling

类似前面提到的概念,三角化八面体是由等腰三角形组成,且对偶多面体由正八边形正三角形交错组成。同样由等腰三角形组成,且对偶多面体由正八边形与其他正多边形交错组成的多面体或镶嵌图包括:

*n42变异对称性的截角镶嵌: n.8.8
对称性
*n42英语Orbifold notation
[n,4]
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲镶嵌 仿紧双曲镶嵌
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
截角
Hexagonal dihedron.png Uniform tiling 432-t01.png Uniform tiling 44-t12.png H2 tiling 245-6.png H2 tiling 246-6.png H2 tiling 247-6.png H2 tiling 248-6.png H2 tiling 24i-6.png
顶点英语Vertex configuration 2.8.8 3.8.8 4.8.8 5.8.8英语Truncated order-5 square tiling 6.8.8英语Truncated order-6 square tiling 7.8.8英语Truncated order-7 square tiling 8.8.8 ∞.8.8英语Truncated infinite-order square tiling
n-角化
Spherical octagonal hosohedron.png Spherical triakis octahedron.png 1-uniform 2 dual.svg Order-4 pentakis pentagonal tiling.png Order4 hexakis hexagonal til.png Order4 heptakis heptagonal til.png Uniform tiling 83-t2.png Ord4 apeirokis apeirogonal til.png
顶点英语Vertex configuration V2.8.8 V3.8.8 V4.8.8 V5.8.8 V6.8.8 V7.8.8 V8.8.8 V∞.8.8

其他三角化八面体

各种三角化后的八面体变种连续动画。

三角化八面体一般是指截角立方体的对偶多面体,但三角化八面体一词原意应为“三角化后的八面体”,换句话说,即在八面体的面上加入三角锥的多面体也可以称为三角化八面体。

角锥
高度增加
图像 Triakis octahedron kleetope of the octahedron out 1.svg Triakis octahedron kleetope of the octahedron out 2.svg Triakis octahedron kleetope of the octahedron out 3.svg Triakis octahedron kleetope of the octahedron out 4.svg Triakis octahedron kleetope of the octahedron out 5.svg
种类 三角化八面体 菱形十二面体 星形八面体
加入锥高
正八面体
边长1
+0.099
[4]
+0.289
+0.5 +0.816
[20]
+1.5
说明 加入角锥
至侧面等角
加入角锥
至侧面共面
加入角锥
使之成为
凹多面体
加入正四面体[20]
角锥
高度减少
允许负值
(向内加入)
图像 Triakis octahedron kleetope of the octahedron out 1.svg Octahedron for kleetope orginal image.svg Triakis octahedron kleetope of the octahedron in 1.svg Triakis octahedron kleetope of the octahedron in 2.svg Triakis octahedron kleetope of the octahedron in 3.svg
种类 三角化八面体 正八面体 凹三角锥八面体 大三角化八面体
加入锥高
正八面体
边长1
+0.099
0 -0.408
-1 -1.394
说明 加入角锥
至侧面等角
原始形状 向内加入角锥
锥尖抵达几何中心
向内加入角锥
锥尖从另一侧凸出

大三角化八面体

大三角化八面体

大三角化八面体的是一个拓朴结构与三角化八面体相同的多面体。三角化八面体是由正八面体的每个面上加入角锥构成,而大三角化八面体则是在正八面体的每个面中加入穿过对面的面的倒角锥而成[6],这种在面上加入倒角锥的做法使其与三角化八面体有一样的拓朴结构,几何上的差异在于,大三角化八面体和三角化八面体一个是向外加入角锥[21]、一个是向内加入角锥。

星形八面体

星形八面体

星形八面体一般是指由两个正四面体组合成的复杂多面体,复杂多面体是指该多面体有出现面与面相交的多面体,而简单多面体则是面与面没有自相交情况的多面体。对于与星形八面体外形相同的简单多面体则也可以视为在正八面体每个面阶贴上三角锥的结果,其贴上的三角锥为正四面体[20]

这样子的组合也可以看做是正八面体四维锥英语Octahedral pyramid展开图[22]

小三角化八面体图

小三角化八面体图
Dual truncated cube t01 v.png
分布3 (8个)
8 (6个)
顶点14
36
半径2
直径3
围长3
色数4
对偶图截角立方体图
属性平面, 可积英语Integral graph

图论的数学领域中,与三角化八面体相关的图为小三角化八面体图(Small Triakis Octahedral Graph),是三角化八面体之边与顶点的图英语1-skeleton[18],是一个阿基米德对偶图[17]

性质

小三角化八面体图有36条边和14个顶点,其中为3的顶点有8个;度为8的顶点有6个。

Small Triakis Octahedral Graph.svg

参考文献

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  2. Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 17, Triakisoctahedron)
  3. The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis octahedron)
  1. ^ Clipart tagged: ‘forms’. etc.usf.edu. [2018-08-28]. (原始内容存档于2018-08-28).
  2. ^ 2.0 2.1 三八面體 triakisoctahedron (trisoctahedron). 国家教育研究院. [2018-08-27]. (原始内容存档于2018-08-28).
  3. ^ Catalan Solids: Triakis Octahedron. dmccooey.com. [2018-08-28]. (原始内容存档于2018-02-01).
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 埃里克·韦斯坦因. Small Triakis Octahedron. MathWorld.
  5. ^ Triakis Octahedron Calculator. rechneronline.de. [2018-08-28]. (原始内容存档于2018-08-28).
  6. ^ 6.0 6.1 埃里克·韦斯坦因. 大三角化八面體. MathWorld.
  7. ^ Correns, C. W. Einführung in die Mineralogie (Kristallographie und Petrologie). Berlin: Springer-Verlag. 1949: p. 41.
  8. ^ Berry, L. G. and Mason, B. Mineralogy: Concepts, Descriptions, Determinations. San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1959., p. 127
  9. ^ 中川宏. 貫入双晶模型の製作 (PDF). [2018-08-30]. (原始内容 (PDF)存档于2018-08-31).
  10. ^ 高田雅介 著. 日本産鉱物の結晶形態 : 高田鉱物標本・結晶図集. 今井裕之. 2010年4月 (日语).
  11. ^ triakisoctahedron. bulatov.org. [2018-08-28]. (原始内容存档于2017-12-06).
  12. ^ geomzome. 三方八面体 The Triakisoctahedron [3,8,8]. 2009-12-26 [2018-08-30]. (原始内容存档于2016-07-25).
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 Triakis octahedron. fillygons.ch. [2018-08-30]. (原始内容存档于2018-08-30).
  14. ^ Pugh, A. Polyhedra: A Visual Approach. The Dome series. University of California Press: 43. 1976 [2018-08-30]. ISBN 9780520030565. LCCN 74027297. (原始内容存档于2019-06-29).
  15. ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. 2002: 2732-2733. ISBN 9781420035223.
  16. ^ Data of Triakis Octahedron. dmccooey.com. [2018-08-30]. (原始内容存档于2017-10-31).
  17. ^ 17.0 17.1 埃里克·韦斯坦因. Small Archimedean Dual Graph. MathWorld.
  18. ^ 18.0 18.1 埃里克·韦斯坦因. Small Triakis Octahedral Graph. MathWorld.
  19. ^ Forty, S. M.C. Escher. Cobham, England: TAJ Books, 2003.
  20. ^ 20.0 20.1 20.2 埃里克·韦斯坦因. Stella Octangula. MathWorld.
  21. ^ 埃里克·韦斯坦因. Triakis octahedron. MathWorld.
  22. ^ Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, x3o4o - oct

外部链接


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