万维百科

三尖瓣线

红色的即为三尖瓣线

三尖瓣线(tricuspoid)也称为Steiner曲线(Steiner curve),是有三个尖点圆内螺线,是一个圆绕着直径为其三倍的圆内侧无滑动滚动时,圆上一点产生的一般旋轮线

三尖瓣线也可以指有三个顶点,之间用向内弯曲的曲线相连的封闭空间,因此三尖瓣线内的空间是非凸集合[1]

方程式

三尖瓣线可以用以下的参数方程表示:

其中a是小圆的半径,b是大圆(也就是小圆在其内侧无滑动滚动)的半径(此处b = 3a)。

在复变座标下可得

.

上述的t可以消去,得到以下的笛卡尔座标下的方程

因此三尖瓣线是四阶的代数曲线,在极坐标下为

曲线有三个奇点,是对应的尖点。上述的参数式意味者曲线为有理曲线,也就表示其几何亏格英语geometric genus为零。

三尖瓣线的对偶曲线英语dual curve

在原点有一个二重点,若进行一个虚轴上的旋转y ↦ iy,曲线会变为下式,就可以看到其二重点

在实平面的原点上有二重点。

面积及周长

三尖瓣线的面积为,其中a为小圆的半径,其面积是小圆面积的两倍[2]

其周长为16a[2]

历史

早在1599年时,伽利略·伽利莱马兰·梅森就已开始研究常见的摆线,而奥勒·罗默在1674年研究齿轮的最佳外形时,也有用到摆线。李昂哈德·欧拉认为他是最早(1745年)将三尖瓣线应用在实际光学问题的人。

应用

三尖瓣线有应用在许多的数学领域中,举例如下:

  • 三维unistochastic英语unistochastic矩阵复数特征值的集合即为三尖瓣线。
  • SU(3)里所有酉矩阵的可能迹的集合会组成三尖瓣线。
  • 二个三尖瓣线的交集会形成一群6阶的复数Hadamard矩阵英语Complex Hadamard matrix
  • 三角形的所有西姆松线的集合,其包络线会是三尖瓣线。因为Jakob Steiner英语Jakob Steiner在1856年描述过此曲线的形状及对称性,因此此曲线称为这称为Steiner三尖瓣线,[3]
  • 三角形面积平分线包络线会是三尖瓣线,三个顶点是中线的中点。三尖瓣线的三边是双曲线的弧[4][5]
  • 三尖瓣线属于挂谷集英语Kakeya set中的挂谷针集合(Kakeya needle set,长度为1的针可以在其中旋转360度),有科学家认为三尖瓣线是挂谷针问题(Kakeya needle problem,面积最小小的挂谷针集合)的解,后来发现不是。

相关条目

参考资料

  1. ^ 存档副本. [2017-10-24]. (原始内容存档于2017-11-21).
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. "Deltoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. ^ Lockwood
  4. ^ Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.
  5. ^ 存档副本. [2017-10-24]. (原始内容存档于2017-11-21).

本页面最后更新于2021-05-13 16:41,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器